Carnot循环

上一课用熵增排除了“热从冷处自行流向热处”。现在观察热机：它从高温热源吸热，做出机械功，再向低温热源排热。新的困难只有一个——即使没有摩擦，也不能把吸收的热全部变成功；可逆 Carnot 循环给出了仅由两热源温度决定的极限。

设理想热机在 $T_h=600\mathrm{K}$ 与 $T_c=300\mathrm{K}$ 之间循环，每一轮从高温热源吸收 $Q_h=1200\mathrm{J}$。Carnot 循环由两段等温和两段绝热可逆过程围成：高温等温膨胀吸热做功，绝热膨胀把工质降至低温，低温等温压缩排热，最后绝热压缩回到初态。工质走完一圈，内能和熵都回到原值。

可逆条件要求两热源的总熵变正好抵消：

$$-\frac{Q_h}{T_h}+\frac{Q_c}{T_c}=0.$$

因此 $Q_c=1200(300/600)=600\mathrm{J}$。一轮能量守恒给

$$W=Q_h-Q_c=600\ {\rm J},\qquad
\eta=\frac{W}{Q_h}=1-\frac{T_c}{T_h}=0.500.$$

这里 $Q_c$ 取排向冷源的正数大小。效率百分之五十并不是机器制造得不够好，而是两个给定温度间任何循环热机都不能超过的上限。把温度代成摄氏度会得到荒谬结果，因为熵关系和效率式必须用绝对温标。

再看一台真实热机，在相同热源和吸热量下只输出 $480\mathrm{J}$。它排热 $Q_c=1200-480=720\mathrm{J}$，两热源总熵变为

$$S_{\rm gen}=-\frac{1200}{600}+\frac{720}{300}
=0.400\ {\rm J/K}>0.$$

相对于可逆机少得的功为 $600-480=120\mathrm{J}$，恰好等于 $T_c{S}_{\mathrm{gen}}=300(0.400)$。这让“耗散”从抽象判断变成可核对的功损失。自检时还应确认 $0\le \eta <1$、$Q_h=W+Q_c$，并检查可逆极限的总熵变是否为零。若算出效率高于 Carnot 值，不要解释成技术突破，应先找热源温度、符号或漏计能流的问题。

迁移题：热源为五百开和三百开，热机每轮吸热两千焦耳。可逆上限效率为 $1-300/500=0.40$，最大功为 $800\mathrm{J}$，排热为 $1200\mathrm{J}$。若实际只做六百焦耳，则排热一千四百焦耳，总熵产生为 $-2000/500+1400/300=0.667J/K$。热机分析暂把热源温度当作已知；下一课要面对温差如何穿过墙壁和流体真正传递，进入热传导与对流。