域、向量空间与公理

本节严格研究“域、向量空间与公理”。目标不是记住模板，而是能从定义推出算法或结论，并说明每一步为什么成立。

定义与问题边界

先写清输入对象、允许操作、输出要求和所有前提。对模糊词逐一量化：数据规模、是否允许重复、数值范围、空对象怎样处理。线性代数中的结论一旦少一个条件就可能错误，因此要主动寻找最小反例，而不是靠几个样例确认直觉。

推导与不变量

从最直接方法开始，指出重复工作或信息瓶颈，再引入新结构。循环、递归或变换的每一步都要给出不变量：开始前成立、一次操作后保持、结束时推出目标。涉及最优性时使用交换论证、归纳或反证；涉及随机性时明确样本空间和条件信息。

复杂度与稳定性

分别计算最坏时间、额外空间与关键操作次数，不只写一个大 O。说明数据分布、稀疏性、数值误差或实现语言会怎样影响实际表现。若存在多个解法，比较它们的适用边界，而不是默认更复杂的方法更高级。

在线验收

手算一个普通例、一个边界例和一个反例；然后独立实现或证明，提交到在线判题。测试至少覆盖空输入、单元素、重复值、极端规模和容易溢出的数值。最后不用代码复述证明主线，并说明修改一个条件后哪里首先失效。只有推导、实现和反例三项都通过，才算掌握。