1极限：无限接近的学问
把一个蛋糕按「每次吃掉一半」的规则往下分，写到第 10 次还剩几分之几？
第 1 页 · 正面（题目）
2导数：变化的快慢
记录水壶烧水：每隔 30 秒读一次温度，算一算哪 30 秒升温最快。
3微分：线性逼近
用微分法估算 51²，再用计算器验证误差有多大。
4积分：积累的艺术
在方格纸上画一个半圆，用数格子的办法估算它的面积，和公式结果比一比。
5微积分基本定理
速度恒为每秒 3 米，10 秒走多远？再用「导数」的语言反过来说一遍。
6泰勒级数：用多项式逼近一切
用泰勒级数前 3 项估算 e（取 x=1），看看离 2.718 有多远。
7多元函数与偏导数
烤饼干时分别做一次实验：固定时间改温度、固定温度改时间，比较哪个影响更大。
8重积分与场
用手机指南针或温度计 App，在家里不同位置测一测，画一张家里的「温度场地图」。
9微积分在物理和工程里
选一个话题（火箭、AI 或天气预报），查资料找出它用到微积分的一个具体环节，讲给家长听。
第 1 页 · 背面（答案）
参考答案（家长）：通常刚开火时升温快、接近沸腾时变慢——升温速度（导数）不是恒定的。
参考答案（家长）：第 10 次后剩下 1/1024，约千分之一，越来越接近 0 但永远不是 0。
参考答案（家长）：半径 5 格的半圆面积约 39 格，公式 1/2×π×25≈39.3，数格子非常接近。
参考答案（家长）：50²+2×50×1=2600，精确值 2601，误差 1，非常小。
参考答案（家长）：1+1+0.5=2.5，还差 0.218；加上第 4 项 1/6≈0.167 就到 2.667，越来越准。
参考答案（家长）：3×10=30 米；反过来说：里程从 0 涨到 30，里程对时间的导数就是速度 3。
参考答案（家长）：通常靠窗、靠暖气处温度高——把数值标在平面图上，就得到了一张真实的场分布图。
参考答案（家长）：大多数饼干温度偏差的「杀伤力」更大——对温度的偏导数更大，所以烤箱要预热充分。
参考答案（家长）：例：AI 训练用梯度下降调整参数——就是沿偏导数最大的方向修正，九讲里第七讲的直接应用。