第3章笔记：前缀结构、双指针与滑动窗口

目标

把重复区间计算压成可增量维护的状态。

七课依赖

• 一维前缀和与区间查询：围绕一维前缀和与区间查询先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度；边界：窗口方法依赖左右指针的单调移动；含负数时很多和式窗口失效。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
• 差分数组与批量更新：围绕差分数组与批量更新先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度；边界：窗口方法依赖左右指针的单调移动；含负数时很多和式窗口失效。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
• 二维前缀和：围绕二维前缀和先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度；边界：窗口方法依赖左右指针的单调移动；含负数时很多和式窗口失效。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
• 相向双指针：围绕相向双指针先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度；边界：窗口方法依赖左右指针的单调移动；含负数时很多和式窗口失效。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
• 同向双指针与去重：围绕同向双指针与去重先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度；边界：窗口方法依赖左右指针的单调移动；含负数时很多和式窗口失效。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
• 滑动窗口的增删不变量：围绕滑动窗口的增删不变量先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度；边界：窗口方法依赖左右指针的单调移动；含负数时很多和式窗口失效。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
• 离线查询与坐标压缩：围绕离线查询与坐标压缩先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度；边界：窗口方法依赖左右指针的单调移动；含负数时很多和式窗口失效。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。

复杂度与适用条件表

算法对象	不变量/复杂度来源	使用边界
一维前缀和与区间查询	围绕一维前缀和与区间查询先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度	窗口方法依赖左右指针的单调移动；含负数时很多和式窗口失效。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
差分数组与批量更新	围绕差分数组与批量更新先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度	窗口方法依赖左右指针的单调移动；含负数时很多和式窗口失效。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
二维前缀和	围绕二维前缀和先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度	窗口方法依赖左右指针的单调移动；含负数时很多和式窗口失效。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
相向双指针	围绕相向双指针先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度	窗口方法依赖左右指针的单调移动；含负数时很多和式窗口失效。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
同向双指针与去重	围绕同向双指针与去重先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度	窗口方法依赖左右指针的单调移动；含负数时很多和式窗口失效。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
滑动窗口的增删不变量	围绕滑动窗口的增删不变量先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度	窗口方法依赖左右指针的单调移动；含负数时很多和式窗口失效。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
离线查询与坐标压缩	围绕离线查询与坐标压缩先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度	窗口方法依赖左右指针的单调移动；含负数时很多和式窗口失效。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。

复盘

每题保存暴力、优化、证明、四组边界测试和首个WA输入；一周后换数据重做。