第2章笔记：排序、二分与分治

目标

把有序性变成边界单调性，并用分治控制子问题。

七课依赖

• 排序稳定性与比较模型：围绕排序稳定性与比较模型先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度；边界：二分必须先证明单调谓词；递归要写终止规模与合并成本。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
• 归并排序的分治证明：围绕归并排序的分治证明先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度；边界：二分必须先证明单调谓词；递归要写终止规模与合并成本。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
• 逆序对与跨区间贡献：围绕逆序对与跨区间贡献先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度；边界：二分必须先证明单调谓词；递归要写终止规模与合并成本。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
• 二分查找的区间不变量：围绕二分查找的区间不变量先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度；边界：二分必须先证明单调谓词；递归要写终止规模与合并成本。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
• 二分答案与可行性判定：围绕二分答案与可行性判定先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度；边界：二分必须先证明单调谓词；递归要写终止规模与合并成本。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
• 分治递推与主定理边界：围绕分治递推与主定理边界先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度；边界：二分必须先证明单调谓词；递归要写终止规模与合并成本。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
• 最近点对与分治复盘：围绕最近点对与分治复盘先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度；边界：二分必须先证明单调谓词；递归要写终止规模与合并成本。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。

复杂度与适用条件表

算法对象	不变量/复杂度来源	使用边界
排序稳定性与比较模型	围绕排序稳定性与比较模型先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度	二分必须先证明单调谓词；递归要写终止规模与合并成本。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
归并排序的分治证明	围绕归并排序的分治证明先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度	二分必须先证明单调谓词；递归要写终止规模与合并成本。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
逆序对与跨区间贡献	围绕逆序对与跨区间贡献先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度	二分必须先证明单调谓词；递归要写终止规模与合并成本。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
二分查找的区间不变量	围绕二分查找的区间不变量先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度	二分必须先证明单调谓词；递归要写终止规模与合并成本。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
二分答案与可行性判定	围绕二分答案与可行性判定先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度	二分必须先证明单调谓词；递归要写终止规模与合并成本。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
分治递推与主定理边界	围绕分治递推与主定理边界先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度	二分必须先证明单调谓词；递归要写终止规模与合并成本。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
最近点对与分治复盘	围绕最近点对与分治复盘先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度	二分必须先证明单调谓词；递归要写终止规模与合并成本。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。

复盘

每题保存暴力、优化、证明、四组边界测试和首个WA输入；一周后换数据重做。