第11章笔记：字符串与竞赛数论

目标

用前缀匹配结构和模运算消除重复比较。

七课依赖

• 字符串匹配的暴力基线：围绕字符串匹配的暴力基线先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度；边界：哈希可能碰撞；模除法要求逆元存在；KMP下标约定必须统一。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
• KMP失配函数：围绕KMP失配函数先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度；边界：哈希可能碰撞；模除法要求逆元存在；KMP下标约定必须统一。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
• Z函数与前缀匹配：围绕Z函数与前缀匹配先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度；边界：哈希可能碰撞；模除法要求逆元存在；KMP下标约定必须统一。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
• 滚动哈希与碰撞核验：围绕滚动哈希与碰撞核验先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度；边界：哈希可能碰撞；模除法要求逆元存在；KMP下标约定必须统一。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
• gcd与扩展欧几里得：围绕gcd与扩展欧几里得先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度；边界：哈希可能碰撞；模除法要求逆元存在；KMP下标约定必须统一。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
• 快速幂、逆元与组合数：围绕快速幂、逆元与组合数先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度；边界：哈希可能碰撞；模除法要求逆元存在；KMP下标约定必须统一。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
• 筛法与质因数分解：围绕筛法与质因数分解先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度；边界：哈希可能碰撞；模除法要求逆元存在；KMP下标约定必须统一。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。

复杂度与适用条件表

算法对象	不变量/复杂度来源	使用边界
字符串匹配的暴力基线	围绕字符串匹配的暴力基线先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度	哈希可能碰撞；模除法要求逆元存在；KMP下标约定必须统一。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
KMP失配函数	围绕KMP失配函数先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度	哈希可能碰撞；模除法要求逆元存在；KMP下标约定必须统一。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
Z函数与前缀匹配	围绕Z函数与前缀匹配先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度	哈希可能碰撞；模除法要求逆元存在；KMP下标约定必须统一。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
滚动哈希与碰撞核验	围绕滚动哈希与碰撞核验先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度	哈希可能碰撞；模除法要求逆元存在；KMP下标约定必须统一。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
gcd与扩展欧几里得	围绕gcd与扩展欧几里得先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度	哈希可能碰撞；模除法要求逆元存在；KMP下标约定必须统一。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
快速幂、逆元与组合数	围绕快速幂、逆元与组合数先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度	哈希可能碰撞；模除法要求逆元存在；KMP下标约定必须统一。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。
筛法与质因数分解	围绕筛法与质因数分解先写朴素算法，再提炼状态或不变量，证明优化保持答案并计算时间空间复杂度	哈希可能碰撞；模除法要求逆元存在；KMP下标约定必须统一。 本课必须再检查边界输入、整数溢出、下标和不可行状态。

复盘

每题保存暴力、优化、证明、四组边界测试和首个WA输入；一周后换数据重做。