微分：线性逼近

曲线远看是直线

把地球仪上一小段弧线放大、再放大——它越来越像直线。你也身在其中：脚下的大地明明是球面，可你感觉它是平的。任何光滑曲线，在足够小的局部都像一条直线，这就是微分的核心思想。

切线：曲线在一点的「最佳直线替身」

在曲线上某一点画一条刚好「擦过」的直线（切线），它的斜率就是那一点的导数。在这条切线上走路，和贴着曲线走，短时间内几乎没差别。所以工程师常说：微小变化量 ≈ 导数 × 自变量变化量，写作 $\Delta y\approx f^{\prime }(x)\Delta x$。白话：想知道曲线动了多少，用切线估算就行。

一个能口算的例子

102 的平方是多少？直接算费劲。用微分：100² = 10000，函数 x² 在 x=100 处的导数是 2×100 = 200，所以 102² ≈ 10000 + 200×2 = 10400。精确答案是 10404——误差只有 4，万分之四！

常见误区

线性逼近只在「小范围」内好用。拿它去估 200²，误差就大到离谱了。近似有适用范围，这是工程思维的重要一课。

练一练：用同样的方法估算 99²（提示：变化量是 -1），再和计算器对答案。