Bootstrap、渐近与有限样本边界

今天从一个可复算问题开始

这一节不从术语表开始，而要完整解决：对均值、中位数和相关系数做非参数 Bootstrap，逐步生成重抽样、标准误与分位区间，并与解析/模拟真值比较。先写随机试验或数据生成过程，明确一次观测是什么、样本空间或总体是什么、已知条件是什么、最终要求概率、分布、参数还是决策。概率统计题最常见的假会，是公式眼熟却没有说明随机性来自哪里；所以第一步永远是把自然语言翻译成模型。
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为什么需要本节的新对象

前一层语言只能描述部分信息：事件语言不方便概括数值结果，边缘分布看不见依赖，点估计没有表达重复抽样波动。今天引入的新关系是

$${\hat{F}}_n^{\ast }\text{由经验分布重抽样}$$

先不代数。逐项说明符号代表事件、随机变量、参数、统计量还是观测值；说明概率相对哪个模型，积分或求和覆盖哪个支持集，条件概率的分母为何为正，极限中的样本量怎样增长。

跟着老师逐步完成例题

围绕“对均值、中位数和相关系数做非参数 Bootstrap，逐步生成重抽样、标准误与分位区间，并与解析/模拟真值比较”依次完成六步：第一步画树图、支持域、概率表或抽样流程；第二步写模型假设；第三步选计数、条件化、CDF、密度、期望、似然或枢轴量；第四步保留关键中间式；第五步计算并写概率范围或参数单位；第六步用另一种方法、枚举或程序反查。任何“显然独立”“近似正态”都必须说明根据。
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公式必须和条件成对出现

检查等可能、独立同分布、有限矩、正态总体、非简并、参数空间、样本设计与渐近尺度。离散概率求和应为1，连续密度积分应为1，协方差矩阵应半正定，区间和检验要声明覆盖率或第一类错误率。若使用近似，还要给样本量、尾部、稀疏格或边界参数条件。

数值结果怎样验收

概率必须落在0到1，方差和标准误不能为负，密度量纲与变量互为倒数，估计值必须落在参数空间。把极端参数代回：p到0或1、样本量到1或无穷、相关到正负1、方差到0时，结论应回到直觉或显露退化。程序输出必须通过正常、边界、退化和非法输入四类固定测试。
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本节最危险的失败边界

危险边界是：极小样本、强依赖、边界参数和极值统计量下普通 Bootstrap 可能不一致。请把它写成“缺少条件A，因此公式第B步不能成立”，再构造最小反例或替代模型。严格不是把公式写得更长，而是能指出互斥与独立、条件与边缘、相关与因果、有限样本与渐近结论之间的边界。
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随课四题如何作答

单选检验模型选择，多选检验证据链，计算题必须写支持、公式、数值与反查，论述题从假设推到结论并处理反例。论述按10分评分：对象与假设2分，关键推导3分，计算或统计解释2分，极限与反例2分，口径与适用范围1分。只报软件p值或只背定义不能得满分。
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把本节接回整门课

这是第8章第7节。极限定理准备完成后，下一章从样本本身推导抽样分布。请在笔记边缘写“输入→本节变换→输出”：事件怎样变成随机变量，分布怎样产生矩与极限，样本怎样产生估计、区间和检验，模型怎样通过残差、模拟和复验接受审查。

手算、枚举和代码怎样互相作证

先用小规模样本空间或简化参数得到可以手核的答案，再让程序处理一般输入。离散问题检查概率和与全部原像，连续问题检查支持和数值积分，推断问题重复生成样本检查偏差、标准误、覆盖率或第一类错误率。若模拟与解析式不同，先记录首个偏差样本，检查条件事件、端点、随机变量层级和参数化，不能靠增加运行次数掩盖程序错误。
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课后迁移练习

把课堂题的数字、分布或抽样机制至少改变一项，再完整重做。若原题独立，改为无放回或分组相关；若原题正态，改为偏态或重尾；若原题样本量大，改为小样本；若原题参数位于内部，移到0、1或方差为0的边界。写出仍可保留的步骤、第一次失效的公式以及合适的替代方法。
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闭卷自检

不用资料回答：随机性来自哪里？核心式每一项是什么？哪条条件最容易漏？计算如何反查？若抽样机制、尾部、样本量或参数边界改变，哪一步必须重做？能更换数字和情境重新建立证据链，才算学会。