涉及积分等式和不等式证明

先定位当前阶段

积分证明题先把目标改写成零、均值或内积结构，再选择积分中值、Cauchy-Schwarz、分部积分或构造辅助函数。

冲刺阶段不再追求无限扩充题量，而是把知识调用稳定在限时环境中。每道题先写学科、模块、对象、条件和目标，再决定工具。听懂讲解不算完成；必须能在看不到原解时复现关键步骤，并解释为什么替代路线更长或条件不满足。

陪你走完一个标准模型

证明(∫_0^1 f)^2≤∫_0^1 f²：由Cauchy-Schwarz，左侧≤(∫_0^1 1²)(∫_0^1 f²)=∫_0^1 f²。常函数因子积分为1。

做完立刻执行反查：高数用定义、展开、求导或量级，线代用维数、秩、乘法或特征关系，概率用范围、归一化、边缘或期望。模考讲解只定位第一处错误，分为识型、条件、运算、表达和时间决策，不用“粗心”掩盖具体原因。

公式/结论卡（可直接提取）

公式： (∫_a^b fg)^2≤(∫f²)(∫g²)；积分中值定理要求连续；分部积分需保留边界项。边界：等号条件为f、g线性相关，区间长度不是1时不能漏掉b-a因子。

卡片必须同时写公式或结论、符号含义、成立条件、失效边界和一个最小反例。考前记忆的不是孤立答案，而是可调用的决策规则。若卡片不能帮助你在三十秒内选择入口，就继续压缩和补条件，直到能直接驱动解题。

严格限时与复盘

单题训练限定时间，超时先标记后跳过；整卷按首轮稳拿、二轮攻坚、末轮检查执行。复盘时保留原卷痕迹，只写第一处错误和下一次可观察动作，例如“先写左右极限”“先比较两秩”“先画联合支持域”，而不是笼统写“再认真些”。

迁移任务

用Cauchy-Schwarz证明积分平均值的平方不超过平方的平均值，并写等号条件。

完成页面单选、多选和计算题。选择题逐项说明条件；计算题保留关键中间量、结果与反查。24小时后闭卷重做错题，七天后放回一套混合卷。若同类错误重复两次，回退到对应公式卡和基础模型，不继续刷相同答案。

本节验收

合上正文，一分钟复述“题型信号—首选工具—条件边界—验算—超时策略”。再改变模型一个条件，判断路线是否变化。能在限时下重建推理链，才算通过本节。