分部积分法的五大功能

先把问题翻译成人话

分部积分把“难积分、易求导”的因子降阶，选u时看求导能否简化。

不要急着写第一行公式。先在草稿上写四个词：对象、目标、条件、工具。对象是函数、区间还是积分；目标是数值、存在性还是证明；条件决定能不能用定理；工具只选最短且能反查的一条。强化阶段所谓“快”，是少走错误路线，而不是省略逻辑。

跟我走一遍标准模型

∫x e^x dx，取u=x、dv=e^x dx，得xe^x-∫e^x dx=e^x(x-1)+C。

走到这里先停一下：把关键等号前后的依据说出来。若是求导，检查复合层与定义域；若是中值定理，逐项核对闭区间连续、开区间可导及端点条件；若是积分，算完必须求导或估计正负、量级。考试步骤分来自这些可核验的节点。

公式/结论卡（可直接提取）

公式： ∫u dv=uv-∫v du。常见功能包括多项式降阶、对数与反三角函数、指数三角循环、递推公式、定积分证明。边界：选取不当会使新积分更复杂。

卡片不是孤立口令。抄卡时必须同时保留符号含义、成立条件和失效边界；少一个条件，题目稍改就会误用。复习时先遮住正文，仅凭卡片重建一条完整计算或证明链，重建不出才回看本节。

我会当面追问

第一，为什么这一步能用，而不是“因为长得像”？第二，结果怎样独立反查？第三，若去掉一个条件，结论是否仍成立？把这三个问题答清楚，才算从会模仿进入会迁移。常见失分点是把必要条件说成充分条件、漏掉积分常数、忽略左右端点或把定理中的中间点当成固定点。

迁移训练

计算∫x²e^x dx，连续两次分部并求导核对。

先独立做页面的单选、多选、计算三题。计算题写出识型、关键公式、结果与反查；选择题不能只记选项，要逐项说明真假的条件。24小时后不看答案重做计算题，七天后与相邻两节混合限时，记录第一处错误是否仍在同一环节。

本节验收

合上讲义，用一分钟复述：题型信号是什么、首选工具是什么、公式条件是什么、怎样检查答案。若任何一句只能说“老师就是这样做”，说明知识还没有变成自己的推理，立即回到标准模型补齐那一行。