导学

从对象和目标开始

二次型通过合同变换化标准形，实对称矩阵的正负惯性指数保持不变。

线性代数强化题常把行列式、矩阵、向量组、方程组、特征值和二次型交叉出现。读题后先写对象的维数，再写目标量，最后圈出保持不变的结构。维数不合、变换类型不明时先停下，不能凭熟悉的外形套公式。

一起拆标准模型

二次型x1²+2x2²对应A=diag(1,2)，正惯性指数2，因此正定。

请把每一步旁边补上依据：初等变换保持什么，秩怎样控制自由变量，合同与相似各保留什么。计算结束后至少做一条反查：行列式用展开或特征值乘积，逆矩阵用乘法，方程解代回，特征向量代回Av=λv，二次型检查惯性指数。

公式/结论卡（可直接提取）

结论： x^TAx在合同变换x=Cy下变为y^T(C^TAC)y；实对称矩阵合同保持正、负惯性指数。边界：合同与相似目的不同，前者研究二次型，后者研究线性变换。

卡片必须连同条件记忆。方阵才谈行列式与可逆，矩阵乘法一般不可交换，行等价不等于相似，相似不等于合同。考试中的多数陷阱不是公式本身，而是把只在某类变换下成立的结论搬到另一类对象上。

追问与易错修正

我会追问三个问题：当前矩阵是几行几列？变换后哪些量保持不变？若参数取临界值，秩和解结构怎样改变？不要只报最终数字。参数题按关键子式或阶梯形分情况，证明题把“充分”和“必要”两个方向分开写。

迁移训练

把含交叉项2x1x2的二次型写出对称矩阵。

页面单选、多选、计算题必须全部完成。选择题逐项标出反例或条件；计算题保留维数、变换、关键中间矩阵和反查。24小时后闭卷重做计算题，七天后把本节与相邻章节混合，记录第一处错误而非整页抄答案。

本节验收

合上正文，用一分钟复述“题型信号—结构关系—公式条件—验算路线”。再把模型中的一个参数改成临界值，判断原结论是否仍成立。能解释变化原因，才算真正掌握。