证明不等式

先把问题翻译成人话

微分不等式证明常转为辅助函数符号、单调性或中值定理估计。

不要急着写第一行公式。先在草稿上写四个词：对象、目标、条件、工具。对象是函数、区间还是积分；目标是数值、存在性还是证明；条件决定能不能用定理；工具只选最短且能反查的一条。强化阶段所谓“快”，是少走错误路线，而不是省略逻辑。

跟我走一遍标准模型

证明ln x≤x-1：令g=x-1-lnx，g'=1-1/x；在x=1左减右增，故最小值g(1)=0。取x=e时右端减左端为e-2。

走到这里先停一下：把关键等号前后的依据说出来。若是求导，检查复合层与定义域；若是中值定理，逐项核对闭区间连续、开区间可导及端点条件；若是积分，算完必须求导或估计正负、量级。考试步骤分来自这些可核验的节点。

公式/结论卡（可直接提取）

结论： 构造g=右端-左端，目标变成g≥0；可用单调性、极值、Taylor余项或中值定理。边界：定义域与等号点必须先写，局部Taylor不能无条件推出全区间结论。

卡片不是孤立口令。抄卡时必须同时保留符号含义、成立条件和失效边界；少一个条件，题目稍改就会误用。复习时先遮住正文，仅凭卡片重建一条完整计算或证明链，重建不出才回看本节。

我会当面追问

第一，为什么这一步能用，而不是“因为长得像”？第二，结果怎样独立反查？第三，若去掉一个条件，结论是否仍成立？把这三个问题答清楚，才算从会模仿进入会迁移。常见失分点是把必要条件说成充分条件、漏掉积分常数、忽略左右端点或把定理中的中间点当成固定点。

迁移训练

证明sin x<x（x>0的适当区间），比较导数并处理等号端点。

先独立做页面的单选、多选、计算三题。计算题写出识型、关键公式、结果与反查；选择题不能只记选项，要逐项说明真假的条件。24小时后不看答案重做计算题，七天后与相邻两节混合限时，记录第一处错误是否仍在同一环节。

本节验收

合上讲义，用一分钟复述：题型信号是什么、首选工具是什么、公式条件是什么、怎样检查答案。若任何一句只能说“老师就是这样做”，说明知识还没有变成自己的推理，立即回到标准模型补齐那一行。