相关变化率

先把问题翻译成人话

相关变化率先写变量间几何或物理关系，再对时间隐式求导，最后代入瞬时数据。

不要急着写第一行公式。先在草稿上写四个词：对象、目标、条件、工具。对象是函数、区间还是积分；目标是数值、存在性还是证明；条件决定能不能用定理；工具只选最短且能反查的一条。强化阶段所谓“快”，是少走错误路线，而不是省略逻辑。

跟我走一遍标准模型

圆面积A=πr²，对t求导得dA/dt=2πr·dr/dt。若r=2、dr/dt=1，则dA/dt=4π；计算题填写除π后的系数4。

走到这里先停一下：把关键等号前后的依据说出来。若是求导，检查复合层与定义域；若是中值定理，逐项核对闭区间连续、开区间可导及端点条件；若是积分，算完必须求导或估计正负、量级。考试步骤分来自这些可核验的节点。

公式/结论卡（可直接提取）

公式： 若F(x,y)=0且x、y依赖t，则 F_x dx/dt+F_y dy/dt=0。所有量必须在同一时刻代入。边界：不可先代瞬时常数再求导，否则会丢失变化关系。

卡片不是孤立口令。抄卡时必须同时保留符号含义、成立条件和失效边界；少一个条件，题目稍改就会误用。复习时先遮住正文，仅凭卡片重建一条完整计算或证明链，重建不出才回看本节。

我会当面追问

第一，为什么这一步能用，而不是“因为长得像”？第二，结果怎样独立反查？第三，若去掉一个条件，结论是否仍成立？把这三个问题答清楚，才算从会模仿进入会迁移。常见失分点是把必要条件说成充分条件、漏掉积分常数、忽略左右端点或把定理中的中间点当成固定点。

迁移训练

圆锥水位题先由相似三角形消元，再对体积关系求导。

先独立做页面的单选、多选、计算三题。计算题写出识型、关键公式、结果与反查；选择题不能只记选项，要逐项说明真假的条件。24小时后不看答案重做计算题，七天后与相邻两节混合限时，记录第一处错误是否仍在同一环节。

本节验收

合上讲义，用一分钟复述：题型信号是什么、首选工具是什么、公式条件是什么、怎样检查答案。若任何一句只能说“老师就是这样做”，说明知识还没有变成自己的推理，立即回到标准模型补齐那一行。