线性方程组（第2组）

接住上一课

第1组判非齐次方程解数，本组构造齐次解空间与非齐次通解。自由变量数量由n-r决定，基础解系必须线性无关且张成全部解。

教师带你完成主模型

若齐次方程Ax=0有3个未知数且rankA=2，则解空间维数n-r=1，基础解系含1个向量。只要找到一个非零解η，通解就是x=cη。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

齐次方程永远有零解；rankA=n时只有零解，rankA<n时有非零解。非齐次通解=一个特解+对应齐次通解。不同特解之差属于齐次解空间。

我会追问的易错点

把基础解系个数写成秩、把非齐次特解当通解、基础向量之间相关，是三类错误。自由变量选择不同可得不同基础解系，但张成同一空间。

迁移到下一题

将一个三元齐次方程组化阶梯形，选自由变量构造基础解系，再用代回与线性无关性验证。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

结论： rankA<rank[A|b] 无解；两秩相等有解，自由变量数为n-rankA。边界：方程条数不能单独决定解数。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。