换一种表示还剩什么：不变量与结构观念

旧体系在哪里遇到压力

非欧几何表明结论依赖公设，群论表明关键可藏在变换关系中。十九世纪后期，克莱因的埃尔朗根纲领用变换群及其不变量比较几何；随后抽象代数更广泛地研究群、环、域等结构。数学对象不再只按材料分类，而按运算和关系是否保持来理解。

学习这一章时，先问“什么被改变了”：是一条公设、距离的定义、允许的根式运算，还是研究对象的表示。现代数学的结构观不是把内容抽空，而是更精确地追踪哪些关系在变化下仍然保存。

正方形绕中心旋转后仍与自身重合的角度有0、90、180、270度，共4个旋转对称。边长和角度在这些欧氏变换下保持，顶点标签的位置会改变。若把允许变换扩大到一般仿射变换，平行性仍保持，长度和角度通常不保持；不变量必须连同变换类一起说。

每次计算都要写明所属体系。角和必须标注欧氏、双曲或球面；置换必须标注复合运算；不变量必须标注允许的变换群；模运算必须标注模数。省略体系后，正确数字也可能表达错误命题。

结构主义不是说对象内容毫无意义，也不是只要写出公理就无需例子。抽象的价值在于把不同对象中相同的关系模式放到同一定理下，同时明确同构保持什么。‘看起来相似’不够，必须给出保持运算和关系的映射。

历史比较继续坚持四层：原问题、采用的对象与记号、能够推出的结果、后来理论增加的统一性。不要把后来的术语原样倒贴给早期工作，也不要把“与现代不同”误写成“没有贡献”。独立发现、公开发表和后续传播也应分开表述。

请额外做一张两列表：左列写本课保留的定义与推理规则，右列写被替换的公设、度量或允许变换。任何结论都必须能在表中找到依赖项。

平行公设的失败证明打开多种几何；双曲几何展示替代体系；黎曼把度量和曲率推广到一般空间；方程可解性催生群；变换群引出不变量与结构分类；现代应用再把抽象结构映回可测对象。后一课必须回答前一课留下的问题。

更换正文对象重新计算：改三角形角度、增加置换对象、换一个多边形或模数。随后指出一个保持量和一个不保持量，并写出结论依赖的公设、变换或运算边界。只报人物、术语或结果，不算通过。

完成单选、多选和数值题。数值题保留体系与运算；选择题必须排除把某个体系结论无条件推广到所有几何、方程或现实应用的选项。