空间本身可以弯：黎曼、度量与曲率

旧体系在哪里遇到压力

双曲几何仍在问平行线，黎曼进一步把问题提升为：怎样在不同维数、不同度量的空间中定义长度、角度和曲率？局部度量决定微小位移如何计长，曲率描述几何偏离平直的方式。球面给出正曲率直观例子，而黎曼几何允许曲率随位置变化。

学习这一章时，先问“什么被改变了”：是一条公设、距离的定义、允许的根式运算，还是研究对象的表示。现代数学的结构观不是把内容抽空，而是更精确地追踪哪些关系在变化下仍然保存。

在单位球面上，从北极沿两条相差90度经线到赤道，再沿赤道连接，可形成三个角都是90度的球面三角形。角和270度，比180度多90度，角盈为90。球面上的‘直线’是大圆弧，因为它们在局部给出最短路径。

每次计算都要写明所属体系。角和必须标注欧氏、双曲或球面；置换必须标注复合运算；不变量必须标注允许的变换群；模运算必须标注模数。省略体系后，正确数字也可能表达错误命题。

球面嵌在三维空间只是帮助想象，内在曲率可以由曲面内部的距离测量发现，不必依赖外部观察者。也不要把任意弯曲表面都当作同一几何：度量决定测地线和曲率。后来广义相对论使用黎曼几何的扩展形式描述时空，但这不是黎曼当年为相对论写的理论。

历史比较继续坚持四层：原问题、采用的对象与记号、能够推出的结果、后来理论增加的统一性。不要把后来的术语原样倒贴给早期工作，也不要把“与现代不同”误写成“没有贡献”。独立发现、公开发表和后续传播也应分开表述。

请额外做一张两列表：左列写本课保留的定义与推理规则，右列写被替换的公设、度量或允许变换。任何结论都必须能在表中找到依赖项。

平行公设的失败证明打开多种几何；双曲几何展示替代体系；黎曼把度量和曲率推广到一般空间；方程可解性催生群；变换群引出不变量与结构分类；现代应用再把抽象结构映回可测对象。后一课必须回答前一课留下的问题。

更换正文对象重新计算：改三角形角度、增加置换对象、换一个多边形或模数。随后指出一个保持量和一个不保持量，并写出结论依赖的公设、变换或运算边界。只报人物、术语或结果，不算通过。

完成单选、多选和数值题。数值题保留体系与运算；选择题必须排除把某个体系结论无条件推广到所有几何、方程或现实应用的选项。