高阶微分方程

接住上一课

一阶方程靠分离或积分因子；常系数高阶线性方程通过特征多项式把微分运算转成代数根问题，再由初值确定常数。

教师带你完成主模型

解y''-3y'+2y=0，特征方程r²-3r+2=0，根1、2，所以y=C1e^x+C2e^{2x}。由y(0)=0得C1+C2=0，y'(0)=1得C1+2C2=1，故C1=-1、C2=1。x=ln2时y=4-2=2。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

不同实根对应指数项；重根r产生e^{rx},xe^{rx},…；共轭复根α±iβ对应e^{αx}(C1cosβx+C2sinβx)。非齐次方程的总解是齐次通解加一个特解，试探形式与齐次项重合时要乘足够次x。

我会追问的易错点

特征方程符号抄错、重根漏x、非齐次特解与齐次解重复却不修正，是三类核心错误。代初值时需同时写y与y'，不能把两个条件都代入同一表达式。

迁移到下一题

求y''+4y=0、y(0)=1、y'(0)=0的解；再为y''-2y'+y=e^x选择不冲突的特解形式并解释乘x的次数。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

公式： f′(a)=lim_{h→0}[f(a+h)-f(a)]/h；可导必连续，连续未必可导。边界：左右导数必须同时存在且相等。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。