一阶方程及其解法

接住上一课

基本概念课用可分离变量方程建立通解。本课系统区分可分离变量、一阶线性、齐次变量代换与伯努利方程，识型决定第一步。

教师带你完成主模型

解y'+y=1，y(0)=0。积分因子μ=e^{∫1dx}=e^x，方程化为(e^x y)'=e^x，积分得e^x y=e^x+C，即y=1+Ce^{-x}。代初值得C=-1，所以y(ln2)=1-1/2=1/2。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

一阶线性标准式为y'+P(x)y=Q(x)，积分因子是e^{∫Pdx}。可分离变量方程要把所有y项与dy放一侧、x项与dx放另一侧。伯努利方程通过z=y^{1-n}化为线性，但变换前后要检查零解。

我会追问的易错点

积分因子指数中漏积分、标准化前忘记先除最高项系数、写出通解后不代初值，是常见错误。把所有一阶方程都强行分离变量也会得到不可操作表达式。

迁移到下一题

求y'-2y=e^{2x}并给定y(0)=1的特解；观察右端与齐次解同型时为何积分中出现x因子。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。

公式/结论卡（可直接提取）

结论： 微分方程先识型再求通解，以初值定常数并代回原方程。边界：分离变量时被除掉的零因子对应常值解要单独补查。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。