特征值重数与相似对角化

本课是数学一高难计算专题 特征值重数与相似对角化。训练目标不是套模板，而是先核验定理条件，再完成可逐行评分的推导。

定理与适用条件

矩阵可对角化当且仅当每个特征值的几何重数等于代数重数之和达到n。

开始前写出定义域、参数范围、积分区域或矩阵条件。凡是极限交换、逐项积分、坐标变换、正交对角化或近似分布，都必须说明使用条件；结论成立不代表过程可以省略。

例题推演

diag(2,2,3)中λ=2的特征子空间由前两个坐标轴张成，维数2。

标准书写顺序为：列定理或公式；代入参数；展示关键中间式；化简；检查边界与数量级。几何积分要画区域并写Jacobian，线代要写秩或特征空间，概率题要区分随机变量、样本统计量和未知参数。

易错反查

有n个特征值必须按线性无关特征向量计数，不能只数不同特征值。

完成后至少反查三件事：是否漏掉端点或参数值；是否擅自除以可能为0的量；是否把充分条件当成必要条件。选择题用反例排除绝对化陈述，计算题保留能拿过程分的关键式。

随课验收

完成单选、多选和数值题。单选需解释三个错误项；多选漏选、多选均不得分；数值题在草稿中保留全过程。次日不看答案重新完成，并记录错误属于条件、建模、运算还是表达。