二次型与正定性

学习目标

本课围绕 二次型与正定性 建立可用于考研数学一解题的定义、公式和验算链。学完应能先识别条件，再独立完成对应计算，而不是只记题型名称。

核心模型

二次型经合同变换化标准形；实对称矩阵正定可用特征值或顺序主子式判断。

必须掌握的关系是：正定 ⇔ 全部特征值>0。写公式时同步写出变量范围、可导/可积/独立等前提；前提改变，结论可能失效。

例题推演

x²+2y² 正定；对应矩阵特征值1,2。

标准过程分四步：①写已知条件；②选择定理并核对前提；③逐行计算；④用量纲、取值范围、代回或特殊值验算。在线计算题为：二次型 2x²+3y² 在(x,y)=(1,2)处的值是多少？

易错边界

• 正确检查：正定二次型除零向量外取值恒正。
• 典型错误：行列式大于零即可保证任意阶实对称矩阵正定。
• 不允许只写“显然”或直接报答案；模拟考试中要保留关键变形。

课后闭环

先独立做数值题，再完成单选与多选。错题必须标注“概念、条件、运算、表达”中的第一处错误，隔一天遮住答案重做。