量子误差与保真度

上一课用关联量拒绝一类经典模型，但量子设备日常调试更常问：制备的 $|+⟩$ 到底离目标多远，误差来自退相干还是读出？任务是从层析结果算状态保真度和纯度，再用重复测量给出置信区间与改进证据。

目标纯态 $|+⟩=(|0⟩+|1⟩)/\sqrt{2}$。层析重建得到

$$\rho =\left(\begin{array}{cc}0.50& 0.42\\ 0.42& 0.50\end{array}\right),$$

先假设虚部可忽略且矩阵已做物理约束重建。对纯目标，保真度简化为

$$F=⟨+|\rho |+⟩.$$

直觉上，对角元检验零一人口，非对角元保存相干；仅测计算基会看到各二分之一，却完全不知道相位是否还在。

第一阶段，

$$F=\frac{1}{2}(0.50+0.50+0.42+0.42)=\mathrm{0.920.}$$

第二阶段，纯度

$$\operatorname{Tr}\rho^2
=0.50^2+0.50^2+2(0.42)^2
=0.8528.$$

保真度低于一且纯度明显下降，符合退相干而非单纯整体相位偏差。第三阶段，若在 $X$ 基做一千次测量得到 $P_{+}=0.92$，二项标准误差

$$\sigma_F\approx\sqrt{\frac{0.92(0.08)}{1000}}
=0.00858.$$

因此报告约 $0.920\pm 0.009$，仍需叠加读出校准与层析模型误差。

先测读出混淆矩阵，再对独立校准数据验证误差缓解，不能用同一批数据既拟合又验收。加入回波或缩短门后，若非对角元从零点四二升到零点四七，保真度升至零点九七且人口不变，才支持“相位噪声被改善”。若重建矩阵出现负本征值，线性反演受噪声影响，应使用最大似然物理重建并报告方法偏差。

模型选择也要受数据约束。纯退相干预测人口不变、相干指数衰减；振幅阻尼则让激发态人口回落。分别在多个等待时间做 $X,Y,Z$ 三基测量，联合拟合 $T_1,T_2$，并用未参与拟合的等待时间验证。若残差出现振荡，可能还有失谐或相干串扰，简单指数模型不够。保真度升高却误差条大幅变宽，也不能称为确定改进。

对于门操作，应区分状态制备与测量误差、单门误差和随时间漂移。插入不同数量的同一门，观察误差是否近似随深度累积；随机基准测试可减少特定输入态的偏见。报告保真度时注明采用平方或非平方约定，避免不同文献数值无法比较。

量化反馈标准：每个测量基至少一千次；Bootstrap 百分之九十五区间给出；读出缓解在留出态上不降低保真度；改进前后区间分离且纯度方向一致。独立变式：若非对角元降为零点二五、对角仍各二分之一，答案 $F=0.75$、纯度 $0.625$。

下一课把制备、门操作、测量和误差预算装进一个两量子比特 Grover 小实验，用最终比特串分布验收算法。