Stern–Gerlach实验

上一章已经会从自旋态计算测量概率，现在把公式变成实验统计：制备一束方向未知但稳定的自旋二分之一粒子，送入 $z$ 向 Stern–Gerlach 分析器，由上下两束计数估计 $z$ 偏振，并判断它是否与“Bloch 极角 $60^{\circ }$”的制备规格一致。

实验每轮只允许一个粒子进入分析区，探测器分别记录 $+z$ 与 $-z$ 出口。先做无磁场背景和两通道效率标定；模型假设事件彼此独立、暗计数已扣除、分析器投影近似理想。若纯态为

$$|\psi\rangle=\cos\frac\theta2|+z\rangle
+e^{i\phi}\sin\frac\theta2|-z\rangle,$$

则 $P(+z)={\cos }^2(\theta /2)$。注意一次粒子只给一个离散出口，角度来自大量重复后的概率，不是单粒子轨迹直接画出的箭头。

第一阶段处理原始数据。有效事件共 $N=2000$，其中 $n_{+}=1488,n_{-}=512$，故

$$\hat p_+=\frac{1488}{2000}=0.744,
\qquad \hat r_z=2\hat p_+-1=0.488.$$

$r_z$ 是 Bloch 向量的 $z$ 分量。目标 $\theta =60^{\circ }$ 预测 $p_{+}={\cos }^{2}30^{\circ }=0.750$、$r_z=0.500$。

第二阶段量化统计波动。二项分布标准误差

$$\sigma_p=\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}N}
=0.00976,$$

所以观测与 0.750 的差仅 $0.006/0.00976=0.615$ 个标准差，没有证据否定制备规格。近似 95% 区间为 $0.744\pm 1.96(0.00976)$，即 $[0.725,0.763]$。

第三阶段检查测量是否真的按 $z$ 轴投影。先筛出 $+z$ 束，再送入 $x$ 向分析器；理想预测两个出口各半。若得到 503 与 497，比例 0.503，与一半一致。若仍接近 0.75，可能第二磁场方向未旋转、路径混入未筛选粒子，或计数器串扰。

误差诊断必须区分统计与系统。增加事件数只会缩小 $1/\sqrt{N}$ 的统计误差，不能消除两探测器效率不同。交换上下探测器或反转磁场，真实自旋不对称应换出口，固定电子学偏置不会。改进时用无偏振束校准相对效率，并随机交替测量设置，减小源强随时间漂移。

独立变式任务：若 $N=5000,n_{+}=3000$，求 $p_{+},r_z$ 和标准误差。答案 $p_{+}=0.600,r_z=0.200$，${\sigma }_p=\sqrt{0.24/5000}=0.00693$。量化反馈标准：所有原始计数为整数且总和闭合；效率修正前后均报告；目标概率落入 95% 区间；重复三批的偏振差异与二项误差相容，并提交磁场反转对照。

下一课沿 $x,y,z$ 三个方向重复投影测量，把三个偏振分量组合成完整密度矩阵，并检查它是否为合法量子态。