1秩：矩阵里有几句「真话」
把三行 (1,2)、(2,4)、(0,1) 写成方程组动手消元，数一数剩下几个独立条件。
第 1 页 · 正面（题目）
2逆矩阵：给变换一个「撤销键」
写出 2×2「放大两倍机」的逆矩阵，验证它乘回原矩阵等于「什么都不做」的单位矩阵。
3基与坐标：换把尺子量世界
把家里的房间长宽先按「东西/南北」报数，再假想沿对角线重新报数，体会坐标随基变化。
4对角化：让机器一次只干一件事
写出「(x,y) → (2x, 3y)」连干 3 次的结果，再直接算 2³ 和 3³ 验证一步到位的感觉。
5对称矩阵：最善良的机器
自己写一个 2×2 对称矩阵，拿 (1,1) 和 (1,-1) 试一试是不是它的特征方向。
6奇异值分解：每台机器都是「旋转—拉伸—旋转」
画出单位圆被「先转 45 度、再 x 方向拉 2 倍、再转回来」之后的样子，感受三步合一。
7低秩近似：图片压缩与推荐的秘密
拍一张书架照片，眯起眼睛看它——细节消失、轮廓还在，这就是一次人肉低秩近似。
8最小二乘与回归：噪声里的最优直线
在方格纸上点出 5 个自己的「学习时间—成绩」点，用直尺徒手画一条最贴近所有点的直线。
9主成分分析：给数据「瘦身」的艺术
和家长讨论：语数英三科成绩里，能不能只用「一个综合分」大致代表？丢掉的代价是什么？
第 1 页 · 背面（答案）
参考答案（家长）：逆矩阵是把 x、y 各除以 2 的「缩小一半机」；(4,6) 变回 (2,3)，两矩阵相乘得单位矩阵。
参考答案（家长）：(2,4) 是 (1,2) 的两倍，为复读；消元后剩 2 个独立条件，秩为 2。
参考答案（家长）：(x,y) → (8x, 27y)；面积放大 2×3=6 倍，5 次则放大 6 的 5 次方倍。
参考答案（家长）：(3,1) = 2 个 (1,1) + 1 个 (1,-1)；新基下坐标为 (2,1)。
参考答案（家长）：放大两倍机的两个奇异值都是 2；压扁机有一个奇异值为 0。
参考答案（家长）：[[2,1],[1,2]] 的特征值为 3 和 1，方向 (1,1)、(1,-1) 互相垂直。
参考答案（家长）：直线不必穿过任何点，让各点到线的竖直距离总体最小即可；这就是最小二乘的直觉。
参考答案（家长）：压缩痕迹先出现在边缘和纹理处；眯眼后保留的是大奇异值对应的整体结构。
参考答案（家长）：可以，综合分就是第一主成分的方向；代价是丢掉各科之间的偏科信息。