极限：无限接近的学问

先从一个分不完的饼说起

把一块饼吃掉一半，再吃掉剩下的一半，再吃掉剩下的一半……你永远吃不完这块饼——但每次剩下的都越来越小，小到可以忽略不计。这个「无限接近、却永远差一点」的想法，就是极限。

极限到底在说什么

数学写作：当 $n$ 越来越大时，$1/n$ 的极限是 0，记作 ${\lim }_{n\to \infty }1/n=0$。白话：1、1/2、1/10、1/1000……这串数越来越靠近 0，近到「要多近有多近」。注意，极限不要求真的到达终点——它描述的是趋势。

一个真实的例子

计算机算圆的面积：在圆里画正多边形，边数越多越像圆。正 6 边形面积约是圆的 82%，正 96 边形（阿基米德当年就算到这）已达 99.9%。「边数趋于无穷」时，多边形面积的极限就是圆的面积。刘徽的「割圆术」、你手机里的圆，都是这么来的。

常见误区

极限不是「代入最后一个值」。1/n 永远不等于 0，但它的极限就是 0——过程和终点是两回事，这正是极限思想最微妙的地方。

练一练：拿出计算器，依次算 1÷2、1÷20、1÷200、1÷2000，说说这串数在往哪儿跑。