1高等数学专项刷题导学
建立一张十题训练表，逐题填写题型、首选工具、适用条件、耗时和第一处错误；24小时后只重做错误题并记录净正确率。
考研数学一全程班 · 小纸条
选一章打印。双面打印（按长边翻页）后沿虚线剪开，每张卡片正面题目、背面答案。
第 1 章3第 2 章10第 3 章6第 4 章8第 5 章3第 6 章2第 7 章13第 8 章10第 9 章12第 10 章4第 11 章1第 12 章1第 13 章4第 14 章22第 15 章21第 16 章15第 17 章1第 18 章1第 19 章6第 20 章3第 21 章6第 22 章2第 23 章5第 24 章4第 25 章3第 26 章4第 27 章3第 28 章45第 29 章3第 30 章6第 31 章2第 32 章2第 33 章4第 34 章2第 35 章2第 36 章2第 37 章4第 38 章8第 39 章6第 40 章7第 41 章4第 42 章1第 43 章3第 44 章2第 45 章3第 46 章1第 47 章1第 48 章1第 49 章1第 50 章13第 51 章13第 52 章13第 53 章6第 54 章4第 55 章5第 56 章7第 57 章11第 58 章2第 59 章3第 60 章2第 61 章2第 62 章2第 63 章2第 64 章5第 65 章6第 66 章8第 67 章4第 68 章1第 69 章1第 70 章3第 71 章2第 72 章1第 73 章1第 74 章1第 75 章1第 76 章1第 77 章3第 78 章1第 79 章1第 80 章2第 81 章3第 82 章3
第 1 页 · 正面（题目）
2第一章 函数极限的计算相关理论
分别用恒等变形与Taylor计算lim_{x→0}(1-cos2x)/x²，并解释内部系数为何平方进入答案。
3第一章 函数极限的计算
计算lim_{x→0}ln(1+4x)/tan(5x)，再把分子改为ln(1-4x)预测符号并完成复算。
4第一章 数列极限
计算lim n(sqrt(n²+a)-n)并讨论参数a；随后用结果预测a为负时充分大n的定义域与极限符号。
5第一章 连续与间断点
讨论f(x)=(x²-1)/(x-1)在x=1的补点参数与间断类型，再与|x-1|/(x-1)比较为何后者不能补连续。
6第二章 导数与微分的定义
按定义计算1/x在x=1的导数，并判断|x|与x^{1/3}在0的可导性；分别写左右差商证据。
7第二章 导数的计算
求y=x e^{x²}的导数和x=1处数值，再用乘积法则两项的来源解释为何不能合成单项。
8第二章 反函数求导
设f(x)=e^x+x，g=f^{-1}，求g(1)与g'(1)；先解f(0)=1，再使用倒数公式并说明局部单调性。
9第二章 隐函数求导
对x²+xy+y²=7求y'与y''，在(1,2)代值；完成后用局部数值点估计切线斜率进行反查。
10第二章 参数方程求导
对x=cos t、y=sin t求一阶与二阶导，在t=π/4代值，并解释所得斜率如何对应单位圆切线。
第 2 页 · 正面（题目）
11第二章 求高阶导
用Leibniz公式求(x²e^x)的四阶导，再用展开x²Σx^n/n!读取x=0处结果交叉检查。
12第二章 导数的应用
完整研究x⁴-2x²的单调、极值、凹凸和拐点，并利用偶函数对称性检查左右区间。
13第三章 不定积分的计算
分别计算∫x e^{x²}dx与∫x e^x dx，说明为什么前者用换元而后者用分部积分；最后求导验算。
14第三章 定积分的定义及性质
不直接求原函数，估计∫0^1 e^{-x²}dx的上下界；再利用对称性化简∫{-a}^a[f(x)+f(-x)]dx。
15第三章 定积分的计算
计算∫_0^1 x ln(1+x)dx，选择分部积分并处理剩余有理项；最后用数值范围检查正负与量级。
16第三章 定积分应用
将y=x与y=x²之间区域绕x轴旋转，写垫片积分；再绕y轴写柱壳积分并验证两种描述对应不同旋转体。
17第三章 变限积分
求G(x)=∫_x^{x²}e^{t²}dt的一阶导，在x=1代值；说明上下限此时相同却不意味着导数必为零。
18第三章 反常积分
分别判定∫_1^∞1/x dx和∫_0^1x^{-1/2}dx，完整写截断参数与极限；再为1/(x-1)在[0,2]拆分奇点。
19第四章 考点一 闭区间连续函数的性
证明方程x³+x-1=0在(0,1)至少有一根，再利用导数严格为正证明根唯一；区分两步各用了什么条件。
20第四章 考点二 中值定理
对lnx在[1,e]求拉格朗日中值点；再证明若函数有三个不同零点，其二阶导至少有一个零点。
第 3 页 · 正面（题目）
21第四章 考点三 不等式的证明
证明lnx≤x-1（x>0），分别用辅助函数单调性和拉格朗日中值定理；写明等号条件。
22第五章 多元函数的基本概念
研究xy/(x²+y²)在原点的极限，沿y=0与y=x比较；再证明(x²y²)/(x²+y²)趋0。
23第五章 偏导数的定义及其计算
按定义求f(x,y)=|xy|在原点的两个偏导，再考察沿y=x的变化，说明偏导信息为何不足以描述全部方向。
24第五章 偏导数的计算
对z=sin(xy)+x²y求z_x、z_y、z_xy，并在(0,1)代值；再由直接计算检查混合偏导相等。
25第五章 全微分
用全微分估算sqrt(4.04+0.03)，明确选择的基点和各变量增量，并与直接数值比较误差。
26第五章 隐函数的偏导计算
对x²+y²+z²=R²求z_x、z_y和切平面法向量，解释偏导公式与梯度法向量之间的联系。
27第五章 多元函数的极值与最值
求x²+y²在x+y=1约束下的最小值，分别用代入与拉格朗日乘子法，并用几何距离解释。
28第六章 二重积分的概念和性质
利用对称性判断单位圆盘上∬x dA，再计算∬1dA；说明两题分别使用了奇性和面积。
29第六章 二重积分的计算
把三角形0≤y≤x≤1改写为先x后y并重算；再计算同一区域上∬1dA验证区域面积为1/2。
30第七章 一阶微分方程求解
求y'-y=e^x、y(0)=0，解释右端与齐次解同型时为什么出现xe^x，并代回验算。
第 4 页 · 正面（题目）
31第七章 二阶微分方程求解
解y''-2y'+y=0、y(0)=1、y'(0)=0；说明重根1如何产生(C1+C2x)e^x。
32第七章 已知解，反求微分方程
由y=C1e^x+C2e^{-x}消去C1、C2，得到二阶方程；通过特征根±1反查方程。
33第七章 微分方程综合应用题
建立药物清除模型M'=-kM，给定半衰期求k并预测两个半衰期后的剩余比例；解释为何结果与初始剂量成比例。
34第八章 常数项级数的概念和性质（数
写出Σ_{n=1}∞2/3^n的前N项和并求极限；用调和级数解释必要条件为何不充分。
35第八章 常数项级数的审敛法（数一、
判定Σ(n+1)/(n³+1)的敛散性，并与1/n²做极限比较；再举出比值判别失效的收敛例子。
36第八章 幂级数（数一、数三）
求Σ(x-2)^n/n的收敛区间，分别检查x=1和x=3；说明中心和平移对半径的影响。
37第八章 幂级数运算（数一、数三）
从几何级数推导Σ_{n=1}∞n x^n=x/(1-x)²，并计算x=1/3时的和；核对首项。
38第九章 向量代数与空间解析几何（数
求过(1,0,0)且法向量(1,2,2)的平面，并计算原点距离；再求该平面与z=0交线的方向向量。
39第九章 三重积分（数一）
用球坐标计算单位球上∭(x²+y²+z²)dV，再仅凭对称性判断∭x dV。
40第九章 多元函数积分学的应用（数一
求单位正方形密度ρ=x+y的完整质心，分别计算两个一阶矩，并用x、y交换对称性核对。
第 5 页 · 正面（题目）
41第九章 第一型曲线积分（数一）
计算螺旋线r(t)=(cost,sint,t),0≤t≤2π上的∫1ds，先求速度模再积分。
42第九章 第二型曲线积分（数一）
参数化单位圆直接计算本题并核对；再计算同一路径反向后的结果，明确参数上下限变化。
43第九章 第一型曲面积分（数一）
计算平面z=x+y在单位正方形投影上∬1dS，写出面积因子并检查结果大于投影面积。
44第九章 第二型曲面积分（数一）
计算F=(x,y,z)穿过半径R球面的外向通量，并用直接观察F与外法向平行核对。
45第九章 傅里叶级数（数一）
求f(x)=|x|在(-π,π)的傅里叶系数结构，先用偶性判断正弦系数，再计算a0。