第7章 分波、Born近似与共振

把中心势散射分解为角动量通道，计算低能极限、Born振幅和共振线形。

1. 分波展开

核心式：$$f(\theta )=k^{-1}\sum _l(2l+1)e^{i{\delta }_l}\sin {\delta }_l{P}_l(\cos \theta )$$

任务：由相移重建角分布

边界：有限能量下必须检查截断l_max

连接：总截面按通道求和

2. 分波幺正界

核心式：$${\sigma }_l=4\pi (2l+1){\sin }^2{\delta }_l/k^2$$

任务：求单个l通道最大截面

边界：超过幺正界说明归一或近似错误

连接：低能由s波主导

3. 散射长度与有效力程

核心式：$$k\cot {\delta }_0=-1/a+r_e{k}^2/2+\cdots$$

任务：由低能相移拟合散射长度

边界：靠近零能束缚态时a可很大

连接：参数连接微观势与低能普适性

4. 一阶Born近似

核心式：$$f_B(\mathbf{q})=-\frac{2\mu }{4\pi {\hslash }^2}\int e^{-i\mathbf{q}\cdot \mathbf{r}}V(r)d^{3}r$$

任务：把势的Fourier变换转成散射振幅

边界：强势、低能或共振附近Born近似失效

连接：二阶项衡量多次散射

5. Breit-Wigner共振

核心式：$$\sigma (E)\propto {\Gamma }^2/[(E-E_R{)}^2+{\Gamma }^2/4]$$

任务：由峰位和半高宽估寿命

边界：背景相位会造成非对称线形

连接：共振是S矩阵极点的可测投影

6. 实验：分波总截面

核心式：$$\sigma =4\pi k^{-2}\sum _l(2l+1){\sin }^2{\delta }_l$$

任务：输入k和若干相移求总截面

边界：k必须正且相移用弧度

连接：逐通道检查幺正界

7. 实验：Breit-Wigner扫描

核心式：$$L(E)={\Gamma }^2/[(E-E_R{)}^2+{\Gamma }^2/4]$$

任务：输出给定能量的归一线形

边界：Gamma必须正，归一口径须声明

连接：下一章从纯态振幅转向统计混合

闭卷验收

重做一项推导、一项计算和一个Python实验；更换参数后检查概率、幺正、迹、正性、截面或粒子数，并记录首个失败边界。