第5章 WKB与半经典方法

从局域波长、连接公式到隧穿、量子化和失效边界。

1. 局域动量与WKB波函数

核心式： $ψ \approx p^{- 1/2} e^{\pm i \int p d x /ℏ}$

任务：在缓变势中估计振幅和相位

边界：转折点p=0处普通WKB发散

连接：有效性由局域波长变化控制

核心式： $∣ℏ p^{'} / p^{2} ∣ ≪ 1$

任务：找出给定势中可使用WKB的区间

边界：远离转折点不自动保证高能，需算无量纲条件

连接：转折点用Airy函数连接

核心式： $\int_{x_{1}}^{x_{2}} p d x = (n + \frac{1}{2}) π ℏ$

任务：由两个软转折点得到束缚态量子化

边界：硬壁和软转折点的相位修正不同

连接：量子化可检验谐振子极限

核心式： $T \approx e^{- 2 \int_{x_{1}}^{x_{2}} κ d x}$

任务：估算α衰变或场发射的指数敏感性

边界：主指数不含全部前因子，薄势垒时误差明显

连接：指数积分能数值复算

核心式： $N (E) \approx (π ℏ)^{- 1} \int_{p^{2} /2 m + V < E} d x p$

任务：估算一维势阱低于E的能级数

边界：小量子数和奇异势附近修正大

连接：态密度连接后续散射连续谱

核心式： $S = \int 2 m (V - E) d x$

任务：对离散势垒采样做梯形积分

边界：只积禁阻区且网格必须收敛

连接：输出隧穿主指数

核心式： $I (E) = \int p d x$

任务：二分求使作用量达到目标的能量

边界：能量必须位于转折点允许范围

连接：下一章用渐近波定义散射可观测量

重做一项推导、一项计算和一个Python实验；更换参数后检查概率、幺正、迹、正性、截面或粒子数，并记录首个失败边界。