第4章 绝热定理、几何相位与突然近似

用变化时间尺度判断系统跟随、跃迁或冻结，并把相位分成动力学与几何部分。

1. 瞬时本征态与能隙

核心式：$$H(t)|n(t)⟩=E_n(t)|n(t)⟩$$

任务：跟踪缓慢转动磁场中的自旋本征态

边界：本征态相位规范任意，可观测量必须规范不变

连接：非绝热耦合由本征态导数给出

2. 绝热条件

核心式：$$\hslash |⟨m|\dot{H}|n⟩|/|E_m-E_n{|}^2\ll 1$$

任务：估算扫场时间是否足以绝热跟随

边界：只说变化慢不够，必须相对最小能隙判断

连接：近能级交叉进入Landau-Zener

3. Landau-Zener跃迁

核心式：$$P_{LZ}=e^{-2\pi g^2/(\hslash v)}$$

任务：由耦合g和扫速v求非绝热概率

边界：无限时间线性扫场是理想模型

连接：概率连接绝热和突然两个极限

4. Berry相位

核心式：$${\gamma }_n=i\oint ⟨n(R)|{\nabla }_{R}n(R)⟩\cdot dR$$

任务：求自旋绕闭合磁场方向一周的几何相位

边界：开路径相位需端点规范或干涉闭合

连接：曲率给相位的局域表示

5. 突然近似

核心式：$$P_{m\leftarrow n}=|⟨m_{new}|n_{old}⟩{|}^2$$

任务：势阱宽度瞬间改变后求新能级布居

边界：突然是相对内禀演化时间，而非人眼感觉快

连接：重叠概率提供另一极限

6. 实验：Landau-Zener概率

核心式：$$P=e^{-2\pi g^2/v}$$

任务：扫描耦合和扫速并检查0到1

边界：v必须为正且单位约定一致

连接：与数值传播作极限对照

7. 实验：突然基变换

核心式：$$p_j=|\sum _i{U}_{ji}{c}_i{|}^2$$

任务：输入二维正交旋转和初态输出新基概率

边界：振幅先变换再取模平方

连接：下一章进入无精确解的半经典空间近似

闭卷验收

重做一项推导、一项计算和一个Python实验；更换参数后检查概率、幺正、迹、正性、截面或粒子数，并记录首个失败边界。