第3章 两能级系统、Rabi动力学与周期驱动

用可精确求解模型理解共振、旋转波近似、脉冲控制和Floquet入口。

1. Bloch球上的受驱动演化

核心式：$$H=\frac{\hslash }{2}(\Delta {\sigma }_z+\Omega {\sigma }_x)$$

任务：画出失谐驱动下的有效磁场和进动轴

边界：Bloch球只完整描述两能级纯态；混态在球内

连接：精确演化给Rabi公式

2. Rabi公式

核心式：$$P_e(t)=\frac{{\Omega }^2}{{\Omega }_R^2}{\sin }^2({\Omega }_{R}t/2)$$

任务：比较共振与失谐时最大激发概率

边界：Ω、普通频率和角频率不能混用

连接：实验脉冲用面积控制

3. π脉冲与π/2脉冲

核心式：$$\Theta =\int \Omega (t)dt$$

任务：设计制备激发态和等幅叠加态的脉冲面积

边界：脉冲面积规则依赖共振和两能级近似

连接：相位控制把脉冲连接成干涉仪

4. 旋转波近似

核心式：$$H_{RWA}=\frac{\hslash }{2}(\Delta {\sigma }_z+\Omega {\sigma }_x)$$

任务：从余弦驱动中删去反旋转快项

边界：强驱动或超短脉冲时Bloch-Siegert修正不可忽略

连接：RWA给实验常用简化

5. Floquet准能入口

核心式：$$[H(t)-i\hslash {\partial }_t]|u_{\alpha }(t)⟩={ϵ}_{\alpha }|u_{\alpha }(t)⟩$$

任务：把周期Hamiltonian改写成一个周期内的本征问题

边界：准能模驱动频率定义，不是普通绝对能量

连接：周期驱动连接绝热和非绝热转换

6. 实验：Rabi概率

核心式：$$P_e={\Omega }^2{\sin }^2(\sqrt{{\Omega }^2+{\Delta }^2}t/2)/({\Omega }^2+{\Delta }^2)$$

任务：输入Omega、Delta和t输出跃迁概率

边界：零驱动零失谐需单独定义极限

连接：用概率范围和周期反查

7. 实验：复合脉冲传播

核心式：$$U=\prod _j{e}^{-i{\theta }_j{\hat{n}}_j\cdot \sigma /2}$$

任务：按顺序作用二维脉冲并输出末态概率

边界：全局相位不可观测但相对相位决定结果

连接：下一章比较慢变和骤变两类极限

闭卷验收

重做一项推导、一项计算和一个Python实验；更换参数后检查概率、幺正、迹、正性、截面或粒子数，并记录首个失败边界。