第2章 含时微扰与跃迁率

从振幅的一阶积分走到共振线形、选择定则和 Fermi 黄金律。

1. 一阶跃迁振幅

核心式：$$c_f^{(1)}(t)=-\frac{i}{\hslash }{\int }_0^t{e}^{i{\omega }_{fi}{t}^{\prime }}{V}_{fi}(t^{\prime })d{t}^{\prime }$$

任务：计算有限时长方波扰动的跃迁振幅

边界：振幅可相干相加，不能先把每个时刻改成概率

连接：有限时间产生sinc线形

2. 有限时间与谱线宽度

核心式：$$P_{i\to f}\propto t^2{\mathrm{sinc}}^2[({\omega }_{fi}-\omega )t/2]$$

任务：由脉冲时长估算主峰宽度

边界：有限时线宽不是能级本征寿命宽度

连接：长时极限引出delta函数

3. Fermi 黄金律

核心式：$${\Gamma }_{i\to f}=\frac{2\pi }{\hslash }|V_{fi}{|}^2\rho (E_f)$$

任务：由矩阵元和末态密度求总跃迁率

边界：只适用于弱耦合、连续末态和合适长时窗口

连接：矩阵元的对称性决定选择定则

4. 选择定则来自对称性

核心式：$$V_{fi}=⟨f|V|i⟩$$

任务：用宇称判断电偶极矩阵元是否为零

边界：零矩阵元来自具体对称性，不是背诵Δl规则

连接：外场偏振进一步筛选磁量子数

5. 周期驱动与吸收发射

核心式：$$V(t)=F{e}^{-i\omega t}+F^{†}{e}^{i\omega t}$$

任务：区分吸收和受激发射的共振条件

边界：经典驱动近似不包含场的自发辐射真空涨落

连接：两能级强驱动需超越一阶

6. 实验：sinc共振线形

核心式：$$P=4g^2{\sin }^2(\Delta t/2)/{\Delta }^2$$

任务：扫描失谐输出有限脉冲跃迁概率

边界：Δ趋零必须使用连续极限

连接：数值线形用面积与峰宽反查

7. 实验：黄金律通道求和

核心式：$$\Gamma =2\pi \sum _k|V_k{|}^2{\rho }_k$$

任务：对多个末态通道求部分率与总率

边界：密度和能量归一约定必须一致

连接：下一章处理强驱动的非微扰两能级动力学

闭卷验收

重做一项推导、一项计算和一个Python实验；更换参数后检查概率、幺正、迹、正性、截面或粒子数，并记录首个失败边界。