第12章 计算量子动力学与综合研究

把传播、散射、主方程和多体小系统装进可复现数值闭环。

1. 离散Hamiltonian与自伴门禁

核心式：$$H=H^{†}$$

任务：构造有限差分、格点或Fock基Hamiltonian

边界：离散边界会改变谱，矩阵对称不保证物理收敛

连接：先检查维数、单位和厄米残差

2. 时间传播算法

核心式：$$|\psi (t+\Delta t)⟩\approx e^{-iH\Delta t/\hslash }|\psi (t)⟩$$

任务：比较Euler、Crank-Nicolson和谱分解

边界：显式Euler不幺正，短时看似正常也会漂移

连接：步长收敛必须与范数同时检查

3. 波包散射数值实验

核心式：$$R+T=1$$

任务：传播Gaussian波包撞势垒并积分反射透射概率

边界：有限盒边界反射会污染结果

连接：与WKB和定态散射交叉验证

4. 主方程数值实验

核心式：$$\mathrm{Tr}\rho =1,\rho \ge 0$$

任务：积分Lindblad方程并监视迹、Hermitian和本征值

边界：任意积分器可能破坏正性

连接：解析可解模型是回归测试

5. 多体小系统精确对角化

核心式：$$H|{\Psi }_n⟩=E_n|{\Psi }_n⟩$$

任务：两站或四站模型比较U/t变化下的能隙

边界：Hilbert空间指数增长限制系统规模

连接：对称分块可减少维数

6. 实验：幺正传播步长收敛

核心式：$${ϵ}_N=|P_N-P_{2N}|$$

任务：输入两个网格结果输出收敛误差

边界：两次结果接近不证明已到渐近区

连接：还需第三分辨率和守恒门禁

7. 答辩：从量子I到多体证据链

核心式：$$制备\to H\to 演化\to 测量\to 统计\to 边界$$

任务：现场完成未知驱动、散射或开放系统小题并解释代码

边界：术语数量和图像美观不能替代可复算证据

连接：课程终点是能独立建立、计算、反查和解释模型

闭卷验收

重做一项推导、一项计算和一个Python实验；更换参数后检查概率、幺正、迹、正性、截面或粒子数，并记录首个失败边界。