第11章多体量子力学入门

从二次量子化Hamiltonian走向理想量子气体、平均场、Hartree-Fock、激发与关联。

1. 多体Hamiltonian的二次量子化

核心式： $H = ij \sum t_{ij} a_{i}^{†} a_{j} + \frac{1}{2} ij k l \sum V_{ij k l} a_{i}^{†} a_{j}^{†} a_{l} a_{k}$

任务：解释单体跃迁和二体散射各项

边界：指标、对称因子和费米符号必须一致

连接：无相互作用极限可按模式对角化

2. 理想Fermi气体

核心式： $n_{k} = [e^{β (ϵ_{k} - μ)} + 1]^{- 1}$

任务：求零温费米面和有限温展宽

边界：固定粒子数时化学势随温度改变

连接：玻色分布有不同占据边界

3. 理想Bose气体与凝聚

核心式： $n_{k} = [e^{β (ϵ_{k} - μ)} - 1]^{- 1}$

任务：判断化学势接近基态能时的宏观占据

边界：低维均匀体系的凝聚结论不同

连接：弱相互作用需平均场

4. Hartree与Hartree-Fock

核心式： $h_{H F} ϕ_{i} = ϵ_{i} ϕ_{i}$

任务：识别直接项和交换项

边界：交换只作用于同自旋费米子且不是经典力

连接：自洽迭代需监视能量和密度收敛

5. 关联、准粒子与线性响应入口

核心式： $χ_{A B} (t) = \frac{i}{ℏ} θ (t) ⟨[A (t), B (0)]⟩$

任务：从弱探针响应连接激发谱

边界：平均场未包含全部关联，准粒子寿命有限

连接：小系统精确对角化可作基准

6. 实验：Fermi/Bose占据

核心式： $n_{\pm} = 1/ (e^{β (ϵ - μ)} \pm 1)$

任务：输入统计类型和参数输出占据

边界：玻色要求mu低于最低能级

连接：检查高温稀薄极限

7. 实验：两站Hubbard矩阵

核心式： $H = - t σ \sum (c_{1 σ}^{†} c_{2 σ} + h . c .) + U i \sum n_{i ↑} n_{i ↓}$

任务：构造固定粒子数基底并输出矩阵迹

边界：费米符号和基底排序必须固定

连接：下一章用数值方法验证全课

闭卷验收

重做一项推导、一项计算和一个Python实验；更换参数后检查概率、幺正、迹、正性、截面或粒子数，并记录首个失败边界。

第11章笔记：多体量子力学入门

第11章 多体量子力学入门