第10章 全同粒子与二次量子化

从交换对称深入Fock空间、产生湮灭算符、占据数表象和场算符。

1. 交换对称再审视

核心式：$$P_{12}|\Psi ⟩=\pm |\Psi ⟩$$

任务：由两个单粒子轨道构造玻色和费米态

边界：不可分辨粒子不能用隐藏标签恢复经典轨迹

连接：Fock表象自动编码交换对称

2. Fock空间与占据数

核心式：$$|n_1,n_2,\dots ⟩$$

任务：把固定粒子数态写成占据数

边界：费米占据0或1，玻色占据任意非负整数

连接：产生湮灭算符改变占据

3. 玻色对易关系

核心式：$$[a_i,a_j^{†}]={\delta }_{ij}$$

任务：推导a†作用的sqrt(n+1)系数

边界：系数来自归一而非经验规则

连接：费米子改用反对易

4. 费米反对易与符号

核心式：$$\{c_i,c_j^{†}\}={\delta }_{ij}$$

任务：计算不同模式算符交换产生的负号

边界：模式排序约定会改变中间符号但不改变可观测

连接：单体算符可统一写成二次型

5. 场算符与单体算符

核心式：$$\hat{O}=\int dx{\hat{\psi }}^{†}(x)o\hat{\psi }(x)$$

任务：把粒子数和动能写成场算符形式

边界：场算符不是单粒子波函数

连接：二体相互作用产生四算符项

6. 实验：玻色产生湮灭

核心式：$$a|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩$$

任务：输入占据n和操作序列输出系数与末态

边界：不能产生负占据

连接：用范数反查系数

7. 实验：费米符号计算

核心式：$$c_j|n_0\cdots ⟩=(-1{)}^{{\sum }_{i<j}{n}_i}{n}_j|\cdots 0_j\cdots ⟩$$

任务：输入比特占据和算符位置输出符号

边界：模式次序必须固定

连接：下一章构造多体Hamiltonian

闭卷验收

重做一项推导、一项计算和一个Python实验；更换参数后检查概率、幺正、迹、正性、截面或粒子数，并记录首个失败边界。