量子力学 II 公式与条件速查

1. 从量子 I 到相互作用绘景

• 量子 I 的交接清单：$$i\hslash {\partial }_t|\psi ⟩=H|\psi ⟩$$；边界：只会定态谱不能自动处理随时间改变的 Hamiltonian
• Schrodinger、Heisenberg 与相互作用绘景：$$O_H=U^{†}{O}_{S}U$$；边界：绘景改变表示不改变可观测预测
• 时间序列算符：$$U(t,t_0)=\mathcal{T}\exp [-\frac{i}{\hslash }\int H(t^{\prime })d{t}^{\prime }]$$；边界：H在不同时刻不对易时不能把指数当普通数
• Dyson 级数：$$U_I=1+\sum _n(-i/\hslash {)}^n{\int }_{t_1>\cdots >t_n}{V}_I(t_1)\cdots V_I(t_n)$$；边界：截断阶数必须由无量纲耦合和演化时间控制
• 幺正性与概率守恒：$$U^{†}U=1$$；边界：只保留振幅一阶却把概率展开到任意阶会破坏一致性
• 实验：时间有序两脉冲：$$U=U_2{U}_1$$；边界：矩阵乘法次序与实际施加次序相反书写
• 实验：幺正残差监视器：$$ϵ=\Vert U^{†}U-I{\Vert }_F$$；边界：小元素误差不等于整体演化稳定

2. 含时微扰与跃迁率

• 一阶跃迁振幅：$$c_f^{(1)}(t)=-\frac{i}{\hslash }{\int }_0^t{e}^{i{\omega }_{fi}{t}^{\prime }}{V}_{fi}(t^{\prime })d{t}^{\prime }$$；边界：振幅可相干相加，不能先把每个时刻改成概率
• 有限时间与谱线宽度：$$P_{i\to f}\propto t^2{\mathrm{sinc}}^2[({\omega }_{fi}-\omega )t/2]$$；边界：有限时线宽不是能级本征寿命宽度
• Fermi 黄金律：$${\Gamma }_{i\to f}=\frac{2\pi }{\hslash }|V_{fi}{|}^2\rho (E_f)$$；边界：只适用于弱耦合、连续末态和合适长时窗口
• 选择定则来自对称性：$$V_{fi}=⟨f|V|i⟩$$；边界：零矩阵元来自具体对称性，不是背诵Δl规则
• 周期驱动与吸收发射：$$V(t)=F{e}^{-i\omega t}+F^{†}{e}^{i\omega t}$$；边界：经典驱动近似不包含场的自发辐射真空涨落
• 实验：sinc共振线形：$$P=4g^2{\sin }^2(\Delta t/2)/{\Delta }^2$$；边界：Δ趋零必须使用连续极限
• 实验：黄金律通道求和：$$\Gamma =2\pi \sum _k|V_k{|}^2{\rho }_k$$；边界：密度和能量归一约定必须一致

3. 两能级系统、Rabi动力学与周期驱动

• Bloch球上的受驱动演化：$$H=\frac{\hslash }{2}(\Delta {\sigma }_z+\Omega {\sigma }_x)$$；边界：Bloch球只完整描述两能级纯态；混态在球内
• Rabi公式：$$P_e(t)=\frac{{\Omega }^2}{{\Omega }_R^2}{\sin }^2({\Omega }_{R}t/2)$$；边界：Ω、普通频率和角频率不能混用
• π脉冲与π/2脉冲：$$\Theta =\int \Omega (t)dt$$；边界：脉冲面积规则依赖共振和两能级近似
• 旋转波近似：$$H_{RWA}=\frac{\hslash }{2}(\Delta {\sigma }_z+\Omega {\sigma }_x)$$；边界：强驱动或超短脉冲时Bloch-Siegert修正不可忽略
• Floquet准能入口：$$[H(t)-i\hslash {\partial }_t]|u_{\alpha }(t)⟩={ϵ}_{\alpha }|u_{\alpha }(t)⟩$$；边界：准能模驱动频率定义，不是普通绝对能量
• 实验：Rabi概率：$$P_e={\Omega }^2{\sin }^2(\sqrt{{\Omega }^2+{\Delta }^2}t/2)/({\Omega }^2+{\Delta }^2)$$；边界：零驱动零失谐需单独定义极限
• 实验：复合脉冲传播：$$U=\prod _j{e}^{-i{\theta }_j{\hat{n}}_j\cdot \sigma /2}$$；边界：全局相位不可观测但相对相位决定结果

4. 绝热定理、几何相位与突然近似

• 瞬时本征态与能隙：$$H(t)|n(t)⟩=E_n(t)|n(t)⟩$$；边界：本征态相位规范任意，可观测量必须规范不变
• 绝热条件：$$\hslash |⟨m|\dot{H}|n⟩|/|E_m-E_n{|}^2\ll 1$$；边界：只说变化慢不够，必须相对最小能隙判断
• Landau-Zener跃迁：$$P_{LZ}=e^{-2\pi g^2/(\hslash v)}$$；边界：无限时间线性扫场是理想模型
• Berry相位：$${\gamma }_n=i\oint ⟨n(R)|{\nabla }_{R}n(R)⟩\cdot dR$$；边界：开路径相位需端点规范或干涉闭合
• 突然近似：$$P_{m\leftarrow n}=|⟨m_{new}|n_{old}⟩{|}^2$$；边界：突然是相对内禀演化时间，而非人眼感觉快
• 实验：Landau-Zener概率：$$P=e^{-2\pi g^2/v}$$；边界：v必须为正且单位约定一致
• 实验：突然基变换：$$p_j=|\sum _i{U}_{ji}{c}_i{|}^2$$；边界：振幅先变换再取模平方

5. WKB与半经典方法

• 局域动量与WKB波函数：$$\psi \approx p^{-1/2}{e}^{\pm i\int pdx/\hslash }$$；边界：转折点p=0处普通WKB发散
• WKB有效条件：$$|\hslash p^{\prime }/p^2|\ll 1$$；边界：远离转折点不自动保证高能，需算无量纲条件
• 连接公式与Maslov相位：$${\int }_{x_1}^{x_2}pdx=(n+\frac{1}{2})\pi \hslash$$；边界：硬壁和软转折点的相位修正不同
• 势垒隧穿：$$T\approx e^{-2{\int }_{x_1}^{x_2}\kappa dx}$$；边界：主指数不含全部前因子，薄势垒时误差明显
• 半经典态密度：$$N(E)\approx (\pi \hslash {)}^{-1}{\int }_{p^2/2m+V<E}dxp$$；边界：小量子数和奇异势附近修正大
• 实验：WKB作用量积分：$$S=\int \sqrt{2m(V-E)}dx$$；边界：只积禁阻区且网格必须收敛
• 实验：Bohr-Sommerfeld量子化：$$I(E)=\int pdx$$；边界：能量必须位于转折点允许范围

6. 散射理论：振幅、截面与Green函数

• 散射边界条件：$$\psi \sim e^{ikz}+f(\theta ,\varphi )e^{ikr}/r$$；边界：球面波归一和通量因子不可省略
• 微分与总截面：$$d\sigma /d\Omega =|f(\theta ,\varphi ){|}^2$$；边界：非弹性多通道需加入末态动量比
• Lippmann-Schwinger方程：$$|{\psi }^{(+)}⟩=|\varphi ⟩+G_0^{(+)}V|{\psi }^{(+)}⟩$$；边界：+i0决定出射边界条件
• T矩阵与S矩阵：$$S=1-2\pi i\delta (E_f-E_i)T$$；边界：归一约定改变常数但不改变可测截面
• 光学定理：$${\sigma }_{tot}=4\pi \mathrm{Im}f(0)/k$$；边界：只取实部或漏掉弹性/非弹性通道会破坏幺正性
• 实验：角分布积分：$$\sigma =2\pi \int |f(\theta ){|}^2\sin \theta d\theta$$；边界：角度须用弧度且端点权重一致
• 实验：光学定理反查：$$ϵ=|\sigma -4\pi \mathrm{Im}f(0)/k|$$；边界：模型若含吸收需解释通道集合

7. 分波、Born近似与共振

• 分波展开：$$f(\theta )=k^{-1}\sum _l(2l+1)e^{i{\delta }_l}\sin {\delta }_l{P}_l(\cos \theta )$$；边界：有限能量下必须检查截断l_max
• 分波幺正界：$${\sigma }_l=4\pi (2l+1){\sin }^2{\delta }_l/k^2$$；边界：超过幺正界说明归一或近似错误
• 散射长度与有效力程：$$k\cot {\delta }_0=-1/a+r_e{k}^2/2+\cdots$$；边界：靠近零能束缚态时a可很大
• 一阶Born近似：$$f_B(\mathbf{q})=-\frac{2\mu }{4\pi {\hslash }^2}\int e^{-i\mathbf{q}\cdot \mathbf{r}}V(r)d^{3}r$$；边界：强势、低能或共振附近Born近似失效
• Breit-Wigner共振：$$\sigma (E)\propto {\Gamma }^2/[(E-E_R{)}^2+{\Gamma }^2/4]$$；边界：背景相位会造成非对称线形
• 实验：分波总截面：$$\sigma =4\pi k^{-2}\sum _l(2l+1){\sin }^2{\delta }_l$$；边界：k必须正且相移用弧度
• 实验：Breit-Wigner扫描：$$L(E)={\Gamma }^2/[(E-E_R{)}^2+{\Gamma }^2/4]$$；边界：Gamma必须正，归一口径须声明

8. 密度算符与量子统计描述

• 为什么需要密度算符：$$\rho =\sum _i{p}_i|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|$$；边界：同一rho可有不同系综分解，分解本身不可观测
• 密度矩阵物理条件：$$\rho ={\rho }^{†},\rho \ge 0,\mathrm{Tr}\rho =1$$；边界：迹为1和厄米还不保证半正定
• 纯度与von Neumann熵：$$\gamma =\mathrm{Tr}{\rho }^2,S=-\mathrm{Tr}\rho \ln \rho$$；边界：熵依赖对数底；纯度不等于保真度
• 复合系统与部分迹：$${\rho }_A={\mathrm{Tr}}_B{\rho }_{AB}$$；边界：整体纯不意味着子系统纯
• POVM与一般测量：$$p(a)=\mathrm{Tr}(E_a\rho ),\sum _a{E}_a=I$$；边界：POVM元不是测后态更新的完整说明
• 实验：二维密度矩阵门禁：$${\lambda }_{min}(\rho )\ge 0,\mathrm{Tr}\rho =1$$；边界：浮点半正定需要容差
• 实验：部分迹：$$({\rho }_A{)}_{i{i}^{\prime }}=\sum _j{\rho }_{ij,i^{\prime }j}$$；边界：基底顺序必须声明

9. 开放量子系统与退相干

• 系统环境与约化动力学：$${\rho }_S(t)={\mathrm{Tr}}_E[U{\rho }_{SE}(0)U^{†}]$$；边界：初始系统环境相关会破坏简单通道假设
• Kraus表示：$$\mathcal{E}(\rho )=\sum _k{K}_k\rho K_k^{†},\sum _k{K}_k^{†}{K}_k=I$$；边界：正映射不一定在扩展系统上完全正
• Lindblad主方程：$$\dot{\rho }=-\frac{i}{\hslash }[H,\rho ]+\sum _k(L_k\rho L_k^{†}-\frac{1}{2}\{L_k^{†}{L}_k,\rho \})$$；边界：任意阻尼方程未必保持正性
• 振幅阻尼与T1：$${\dot{p}}_e=-p_e/T_1$$；边界：有限温环境还有向上跃迁
• 退相干与T2：$${\rho }_{01}(t)={\rho }_{01}(0)e^{-t/T_2}$$；边界：常见Markov模型满足T2≤2T1，具体噪声需建模
• 实验：Lindblad衰减步进：$$p(t)=p_0{e}^{-\gamma t}$$；边界：参数必须保证概率区间
• 实验：退极化通道：$${\rho }^{\prime }=(1-p)\rho +pI/2$$；边界：p范围与通道参数化约定有关

10. 全同粒子与二次量子化

• 交换对称再审视：$$P_{12}|\Psi ⟩=\pm |\Psi ⟩$$；边界：不可分辨粒子不能用隐藏标签恢复经典轨迹
• Fock空间与占据数：$$|n_1,n_2,\dots ⟩$$；边界：费米占据0或1，玻色占据任意非负整数
• 玻色对易关系：$$[a_i,a_j^{†}]={\delta }_{ij}$$；边界：系数来自归一而非经验规则
• 费米反对易与符号：$$\{c_i,c_j^{†}\}={\delta }_{ij}$$；边界：模式排序约定会改变中间符号但不改变可观测
• 场算符与单体算符：$$\hat{O}=\int dx{\hat{\psi }}^{†}(x)o\hat{\psi }(x)$$；边界：场算符不是单粒子波函数
• 实验：玻色产生湮灭：$$a|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩$$；边界：不能产生负占据
• 实验：费米符号计算：$$c_j|n_0\cdots ⟩=(-1{)}^{{\sum }_{i<j}{n}_i}{n}_j|\cdots 0_j\cdots ⟩$$；边界：模式次序必须固定

11. 多体量子力学入门

• 多体Hamiltonian的二次量子化：$$H=\sum _{ij}{t}_{ij}{a}_i^{†}{a}_j+\frac{1}{2}\sum _{ijkl}{V}_{ijkl}{a}_i^{†}{a}_j^{†}{a}_l{a}_k$$；边界：指标、对称因子和费米符号必须一致
• 理想Fermi气体：$$n_k=[e^{\beta ({ϵ}_k-\mu )}+1{]}^{-1}$$；边界：固定粒子数时化学势随温度改变
• 理想Bose气体与凝聚：$$n_k=[e^{\beta ({ϵ}_k-\mu )}-1{]}^{-1}$$；边界：低维均匀体系的凝聚结论不同
• Hartree与Hartree-Fock：$$h_{HF}{\varphi }_i={ϵ}_i{\varphi }_i$$；边界：交换只作用于同自旋费米子且不是经典力
• 关联、准粒子与线性响应入口：$${\chi }_{AB}(t)=\frac{i}{\hslash }\theta (t)⟨[A(t),B(0)]⟩$$；边界：平均场未包含全部关联，准粒子寿命有限
• 实验：Fermi/Bose占据：$$n_{\pm }=1/(e^{\beta (ϵ-\mu )}\pm 1)$$；边界：玻色要求mu低于最低能级
• 实验：两站Hubbard矩阵：$$H=-t\sum _{\sigma }(c_{1\sigma }^{†}{c}_{2\sigma }+h.c.)+U\sum _i{n}_{i\uparrow }{n}_{i\downarrow }$$；边界：费米符号和基底排序必须固定

12. 计算量子动力学与综合研究

• 离散Hamiltonian与自伴门禁：$$H=H^{†}$$；边界：离散边界会改变谱，矩阵对称不保证物理收敛
• 时间传播算法：$$|\psi (t+\Delta t)⟩\approx e^{-iH\Delta t/\hslash }|\psi (t)⟩$$；边界：显式Euler不幺正，短时看似正常也会漂移
• 波包散射数值实验：$$R+T=1$$；边界：有限盒边界反射会污染结果
• 主方程数值实验：$$\mathrm{Tr}\rho =1,\rho \ge 0$$；边界：任意积分器可能破坏正性
• 多体小系统精确对角化：$$H|{\Psi }_n⟩=E_n|{\Psi }_n⟩$$；边界：Hilbert空间指数增长限制系统规模
• 实验：幺正传播步长收敛：$${ϵ}_N=|P_N-P_{2N}|$$；边界：两次结果接近不证明已到渐近区
• 答辩：从量子I到多体证据链：$$制备\to H\to 演化\to 测量\to 统计\to 边界$$；边界：术语数量和图像美观不能替代可复算证据