第8章笔记：线性响应与涨落耗散

本章目标

从弱扰动的因果响应连接平衡自发涨落，建立时域与频域的可测闭环。

七节依赖

1. 响应函数定义：$\delta ⟨A(t)⟩={\int }_{-\infty }^t{R}_{AB}(t-t^{\prime })h(t^{\prime })d{t}^{\prime }$；任务：用脉冲和阶跃扰动区分响应核；边界：线性响应要求扰动足够小且基态分布已知。
2. 因果性与频域：$R(t<0)=0,\chi (\omega )={\int }_0^{\infty }R(t)e^{i\omega t}dt$；任务：从因果卷积变 Fourier 乘积；边界：有限测量窗会造成频谱泄漏和相位偏差。
3. 经典 Kubo 公式：$R_{AB}(t)=\beta ⟨\dot{B}(0)A(t){⟩}_{eq}$；任务：把小外场造成的初始分布偏移推到相关函数；边界：观测量奇偶性和耦合符号会改变具体形式。
4. 涨落耗散定理：$S_{AA}(\omega )\propto \frac{2k_{B}T}{\omega }{\chi }^{\prime \prime }(\omega )$；任务：比较热噪声谱和耗散响应的同一频段；边界：量子低温需 Bose 因子，不能直接用经典形式。
5. Kramers–Kronig 关系：${\chi }^{\prime }(\omega )=\frac{1}{\pi }\mathcal{P}\int \frac{{\chi }^{\prime \prime }({\omega }^{\prime })}{{\omega }^{\prime }-\omega }d{\omega }^{\prime }$；任务：由上半平面解析性连接实虚部；边界：有限频带重建需外推并报告系统误差。
6. Green–Kubo 输运：$D={\int }_0^{\infty }⟨v(0)v(t)⟩dt$；任务：由速度自相关积分求扩散系数；边界：长时尾与积分截断会主导误差。
7. 响应实验验收：$\text{noise spectrum}\leftrightarrow \text{driven response}$；任务：独立测噪声与小扰动响应并核对 FDT；边界：只拟合单条曲线不能排除仪器滤波和非平衡驱动。

章后验收

换一个尺寸、维数、对称性或驱动协议，从模型重做推导与数值基准；同时提交极限、反例、有效样本数和误差预算。