第7章笔记：随机过程、Langevin 与 Fokker–Planck

本章目标

从单变量噪声动力学建立轨迹、概率密度和稳态分布三种等价描述。

七节依赖

1. 随机变量到随机过程：$X(t),C(t,t^{\prime })=⟨X(t)X(t^{\prime })⟩$；任务：区分样本路径、系综均值和平稳相关；边界：一条长轨迹替代系综需要平稳与遍历证据。
2. 白噪声与离散化：$⟨\eta (t)\eta (t^{\prime })⟩=2D\delta (t-t^{\prime })$；任务：由 ΔW 服从正态且方差 Δt 构造 Euler 步；边界：白噪声不是每一步取固定幅度正负号。
3. 过阻尼 Langevin 方程：$\dot{x}=-\mu U^{\prime }(x)+\sqrt{2D}\eta$；任务：模拟谐势轨迹并比较均值、方差松弛；边界：时间步过大会破坏稳态分布和稳定性。
4. Fokker–Planck 方程：${\partial }_{t}P=-{\partial }_x(AP)+\frac{1}{2}{\partial }_x^2(B^{2}P)$；任务：由短时增量矩推漂移扩散方程；边界：乘性噪声需声明 Itô 或 Stratonovich 约定。
5. 概率流与边界：$J=AP-\frac{1}{2}{\partial }_x(B^{2}P)$；任务：用反射、吸收和周期边界分别闭合概率守恒；边界：P 稳定不代表 J 必为零，非平衡稳态可有环流。
6. 平衡稳态与 Einstein 关系：$D=\mu k_{B}T,P_{eq}\propto e^{-\beta U}$；任务：令 J=0 推 Boltzmann 分布；边界：任意噪声强度与摩擦组合不会自动得到目标温度。
7. 首达时间：${\mathcal{L}}^{†}\tau (x)=-1$；任务：解区间吸收边界下平均首达时间；边界：平均首达时间不描述长尾分布全部信息。

章后验收

换一个尺寸、维数、对称性或驱动协议，从模型重做推导与数值基准；同时提交极限、反例、有效样本数和误差预算。