第6章笔记：动量壳 RG 与场论入口

本章目标

从 Landau–Ginzburg 泛函进入 Fourier 模式、工程维数与 Wilson–Fisher 固定点。

七节依赖

1. 场论配分泛函：$Z=\int \mathcal{D}\varphi e^{-\int d^{d}x[(\nabla \varphi {)}^2/2+r{\varphi }^2/2+u{\varphi }^4/4!]}$；任务：从格点序参量做连续极限并标明截止 Λ；边界：连续场论只描述长波，不承诺复原晶格短程细节。
2. Gaussian 理论：$G(k)=1/(k^2+r)$；任务：完成二次泛函积分并 Fourier 反变换；边界：r<0 时围绕 φ=0 的 Gaussian 展开不稳定。
3. 工程维数：$[\varphi ]=(d-2)/2,[u]=4-d$；任务：用作用量无量纲求场和耦合的尺度维数；边界：工程维数不是完整异常维数。
4. 上临界维数：$d_c=4$；任务：由 φ4 耦合在 d=4 边缘解释平均场适用区；边界：d=4 仍可能有对数修正。
5. 动量壳积分：$\Lambda /b<|k|<\Lambda$；任务：分慢模快模，积分快模再重缩放；边界：壳宽和截断方案影响中间系数但不应改变普适量。
6. Wilson–Fisher 固定点：${\beta }_u=-ϵu+A{u}^2+\cdots$；任务：在 d=4-ε 解非零固定点并判断稳定性；边界：ε=1 的低阶结果需要误差意识，不能冒充精确三维值。
7. RG 计算的完整证据链：$\text{action}\to \text{shell}\to \text{rescale}\to \beta \text{-function}\to \text{exponents}$；任务：对质量项和四次耦合逐步记录重整化；边界：只展示流线图而无变换定义不可验收。

章后验收

换一个尺寸、维数、对称性或驱动协议，从模型重做推导与数值基准；同时提交极限、反例、有效样本数和误差预算。