第5章笔记：重整化群的实空间构造

本章目标

把粗粒化、缩放和参数流写成可计算变换，解释为何临界点看见固定点。

七节依赖

1. 为什么要粗粒化：$\xi /a\to \xi /(ba)$；任务：把2乘2自旋块替成块变量，比较保留与丢失信息；边界：粗粒化不是简单降采样，必须诱导新的有效 Hamiltonian。
2. 块自旋变换：$e^{-H^{\prime }(S^{\prime })}={\sum }_{S\to S^{\prime }}{e}^{-H(S)}$；任务：对小链执行多数规则并求块态权重；边界：投影规则不同会改变非普适坐标，不应改变普适指数。
3. 恢复尺度：$x^{\prime }=x/b,m^{\prime }=b^{x_m}m$；任务：粗粒化后重标长度和场，使截止恢复原值；边界：忘记场的缩放会得到错误参数维数。
4. 参数空间与 RG 流：$K^{\prime }=R(K)$；任务：迭代高温、低温和临界附近耦合，画流向；边界：一次迭代靠近某点不证明已经在固定点。
5. 固定点与相关长度：$R(K^{\ast })=K^{\ast }$；任务：用 ξ'=ξ/b 说明有限 ξ 的固定点只有0或无穷，临界点例外；边界：固定点是有效理论不变，不是微观自旋静止。
6. 相关、无关与边缘方向：$\delta K_i^{\prime }=b^{y_i}\delta K_i$；任务：线性化 Jacobian，按 y 正负分类扰动；边界：边缘方向 y=0 需看高阶流，不能直接判无效。
7. 临界指数来自本征值：$\nu =1/y_t$；任务：由温度方向离固定点增长与 ξ 缩放推 ν；边界：近似 RG 的数值指数需报告截断与方案误差。

章后验收

换一个尺寸、维数、对称性或驱动协议，从模型重做推导与数值基准；同时提交极限、反例、有效样本数和误差预算。