第4章笔记：相关函数、临界指数与标度

本章目标

从可测相关函数定义临界尺度，并把各指数组织成可检验关系。

连接相关函数： $G_{c} (r) = ⟨ m (0) m (r)⟩ - ⟨ m ⟩^{2}$ ；任务：从样本中减去均值并解释为何需要 connected；边界：有序相不减均值会把长程平台误当临界关联。
相关长度： $G_{c} (r) \sim r^{- (d - 2 + η)} e^{- r / ξ}$ ；任务：用半对数图辨指数衰减并估 ξ；边界：临界点 ξ 发散时不能只拟合纯指数。
六个静态临界指数： $C \sim ∣ t ∣^{- α}, m \sim (- t)^{β}, χ \sim ∣ t ∣^{- γ}$ ；任务：逐一定义 αβγδν η 的控制路径；边界：同一希腊字母在温度倒数与临界指数中要按语境区分。
齐次标度假设： $f_{s} (t, h) = b^{- d} f_{s} (t b^{y_{t}}, h b^{y_{h}})$ ；任务：选择 b 消去 t，推出自由能奇异标度；边界：解析背景项可能遮住奇异项，尤其 α<0。
指数标度关系： $α + 2 β + γ = 2, γ = ν (2 - η)$ ；任务：由齐次式推 Rushbrooke 与 Fisher 关系；边界：危险无关变量和上临界维以上会修改简单超标度。
普适类： $(d, n, range, symmetry) \mapsto class$ ；任务：比较 Ising、XY、Heisenberg 的维数与序参量分量；边界：只看相变温度接近不能判断同一普适类。
数据塌缩： $m L^{β / ν} = M (t L^{1/ ν})$ ；任务：调整已知指数让多尺寸曲线塌缩并检查残差；边界：视觉上重合可被参数过拟合制造，需留出尺寸检验。

换一个尺寸、维数、对称性或驱动协议，从模型重做推导与数值基准；同时提交极限、反例、有效样本数和误差预算。