第3章笔记：Ising 模型与精确可解入口

本章目标

用离散自旋把对称性、相互作用、边界和热力学极限落到可枚举模型。

七节依赖

1. 模型与边界条件：$H=-J{\sum }_{⟨ij⟩}{s}_i{s}_j-h{\sum }_i{s}_i$；任务：列一维链全部能量项并比较开边界与周期边界；边界：边界条件有限时影响能谱，但体相结论需取极限。
2. 小系统直接枚举：$Z_N={\sum }_{\{s\}}{e}^{-\beta H}$；任务：枚举 N=4 的16态，求能量、磁化和简并；边界：数值程序必须与手算态表逐项一致。
3. 一维转移矩阵：$Z=\mathrm{Tr}{T}^N$；任务：把相邻自旋 Boltzmann 权重拆成2乘2矩阵；边界：外场分配到键时要避免重复或漏计。
4. 最大本征值与自由能：$f=-k_{B}T\ln {\lambda }_{max}$；任务：对 h=0 求两个本征值并取 N 趋无穷；边界：有限 N 时次大本征值决定修正，不能提前丢掉。
5. 一维为何无有限温相变：${\xi }^{-1}=-\ln ({\lambda }_2/{\lambda }_1)$；任务：证明任意 T>0 相关长度有限且自由能解析；边界：T=0 临界行为不等于有限温相变。
6. 二维 Ising 的关键结论：$\sinh (2K_c)=1$；任务：用对偶思想定位方格模型临界耦合并理解非平均场指数；边界：不能用一句 Onsager 解代替有限尺寸和相关分析。
7. 模型—材料映射边界：$\text{symmetry}+\text{dimension}+\text{range}$；任务：判断哪些单轴磁体可近似为 Ising 类；边界：微观细节不同可同属普适类，但长程作用会改结论。

章后验收

换一个尺寸、维数、对称性或驱动协议，从模型重做推导与数值基准；同时提交极限、反例、有效样本数和误差预算。