第2章笔记：Landau 对称性与序参量

本章目标

从对称性选择序参量并构造最低阶自由能，先会推导再谈普适。

序参量怎样选： $m = 0 disordered, m \neq = 0 ordered$ ；任务：从 Ising 磁体、液气和超流判断标量或复序参量；边界：序参量必须区分相，不能只挑一个变化明显的量。
对称性限制自由能： $f (m) = f (- m) = a m^{2} + b m^{4} + \dots$ ；任务：由 Z2 对称性排除奇次项；边界：外场或显式破缺会允许线性项。
二级相变的极小化： $a = a_{0} (T - T_{c}), m^{2} = - a / (2 b)$ ；任务：逐段求 T 高低于 Tc 的极小值并验二阶导；边界：b 必须为正；否则四阶截断不稳定。
平均场临界指数： $m \sim (- t)^{1/2}, χ \sim ∣ t ∣^{- 1}$ ；任务：从状态方程求 β、γ、δ 并核对定义；边界：平均场指数在低于上临界维数时通常不精确。
一级相变的 Landau 形式： $f = a m^{2} - b m^{4} + c m^{6}$ ；任务：寻找三极值共存和自旋odal边界；边界：有势垒不等于当前参数已经两相共存。
空间梯度与界面： $F [m] = \int [d^{d} x κ (\nabla m)^{2} /2 + f (m)]$ ；任务：变分求畴壁轮廓和界面宽度；边界：均匀 Landau 多项式不能描述界面与空间涨落。
Landau 理论的验收边界： $G_{i} \sim ξ^{d} ⟨(δ m)^{2} ⟩ / m^{2}$ ；任务：用 Ginzburg 判据估平均场失效区；边界：拟合到二分之一指数不能证明涨落可忽略。

换一个尺寸、维数、对称性或驱动协议，从模型重做推导与数值基准；同时提交极限、反例、有效样本数和误差预算。