第10章笔记：Boltzmann 方程与输运

本章目标

从单粒子分布的流动和碰撞建立稀薄气体动力学及输运系数。

七节依赖

1. 单粒子分布函数：$dN=f(\mathbf{r},\mathbf{p},t)d^{3}r{d}^{3}p$；任务：从 N 体描述降到一体分布并求密度、流速；边界：f 不是单粒子出现概率，归一通常给总粒子数。
2. 自由输运项：${\partial }_{t}f+\mathbf{v}\cdot {\nabla }_{r}f+\mathbf{F}\cdot {\nabla }_{p}f=C[f]$；任务：沿相空间特征线解释左端 Liouville 流；边界：外力依速度时需检查相空间散度修正。
3. 碰撞积分：$C[f_1]=\int W_{12\to 34}(f_3{f}_4-f_1{f}_2)d\Gamma$；任务：写入射减出射并核对粒子、动量、能量守恒；边界：分子混沌假设忽略碰撞前关联。
4. H 定理：$H=\int f\ln f,dH/dt\le 0$；任务：用微观可逆碰撞率证明单调性并解释假设；边界：H 定理不等于有限 N Hamilton 动力学严格不可逆。
5. 局域平衡：$f_0\propto e^{-(ϵ-\mathbf{u}\cdot \mathbf{p}-\mu )/k_{B}T}$；任务：由碰撞不变量求 C[f0]=0；边界：局域平衡参数可随空间变化，不是全局平衡。
6. 弛豫时间近似：$C[f]\approx -(f-f_0)/\tau$；任务：在线性梯度下求 δf 的符号和尺度；边界：单一 τ 会忽略能量与角度依赖，需说明近似。
7. 黏滞、导热与扩散：$\eta ,\kappa ,D\sim \text{density}\times {\text{speed}}^2\times \tau$；任务：从矩方程提取输运通量并做量纲核对；边界：输运系数不能仅凭平衡状态方程得到。

章后验收

换一个尺寸、维数、对称性或驱动协议，从模型重做推导与数值基准；同时提交极限、反例、有效样本数和误差预算。