第5章笔记：Schrodinger方程与一维量子系统

本章问题

从动力学公设走到方势阱、隧穿与束缚态。

七节依赖

1. 时间依赖Schrodinger方程：公式 $i\hslash {\partial }_t\psi =\hat{H}\psi$；任务由给定Hamiltonian检查概率守恒和时间演化；失败边界方程非相对论，不能无条件用于高速产生湮灭；连接承接态；下一节分离定态。
2. 定态与能量本征方程：公式 $\hat{H}\varphi =E\varphi$；任务分离时间因子并解释定态概率密度不变；失败边界定态不等于粒子静止；连接承接演化；下一节无限深势阱。
3. 无限深方势阱：公式 $E_n=n^2{\pi }^2{\hslash }^2/(2m{L}^2)$；任务由边界条件求本征函数、归一化和能级；失败边界把经典允许区边界条件直接延伸到有限势垒；连接承接本征方程；下一节有限势阱。
4. 有限深势阱：公式 $\psi ,{\psi }^{\prime }continuous$；任务匹配振荡解和指数尾，判断束缚态数；失败边界有限阱外波函数不为零但仍可归一；连接承接无限阱；下一节隧穿。
5. 势垒隧穿：公式 $T\sim e^{-2\kappa a}$；任务估算势垒宽度和高度变化对透射率的指数影响；失败边界指数近似在薄垒、接近垒顶时会失效；连接承接有限阱；下一节谐振子。
6. 量子谐振子：公式 $E_n=\hslash \omega (n+1/2)$；任务用升降算符得到能级并解释零点能；失败边界零点能不等于粒子沿经典轨道来回运动；连接承接束缚态；下一节数值求解。
7. 一维本征值数值实验：公式 $H\psi =E\psi$；任务离散二阶导数求低能级并做网格收敛；失败边界矩阵本征值稳定不代表离散边界和单位正确；连接收束一维系统；下一章进入原子结构。

闭卷复盘

从原始测量写出经典与现代竞争预测，完成一个推导、一个定量例题和一个撤掉条件后的反例，再用单位、极限和残差独立反查。