第3章笔记：Hahn–Banach定理

章目标

围绕Hahn–Banach定理建立定义、几何直觉、证明链与条件反查。 七课不是并列名词，而是从定义、有限维模型、关键估计到无限维定理和反例的连续证明链。

七课连接

• 延拓问题为何困难：核心 先在子空间定义再延拓；例题为在R^2或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与延拓问题为何困难有关的范数、配对或谱量；反例任务为去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号3-1要求写出实际数值或序列；条件为使用延拓问题为何困难时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件；本节结论将作为《次线性泛函支配形式》的对象、估计或反例来源。
• 次线性泛函支配形式：核心 p(x+y)≤p(x)+p(y)；例题为在R^3或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与次线性泛函支配形式有关的范数、配对或谱量；反例任务为去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号3-2要求写出实际数值或序列；条件为使用次线性泛函支配形式时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件；本节结论将作为《实Hahn–Banach逐步延拓》的对象、估计或反例来源。
• 实Hahn–Banach逐步延拓：核心 Zorn链保持一致延拓；例题为在R^4或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与实Hahn–Banach逐步延拓有关的范数、配对或谱量；反例任务为去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号3-3要求写出实际数值或序列；条件为使用实Hahn–Banach逐步延拓时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件；本节结论将作为《复数版本与旋转技巧》的对象、估计或反例来源。
• 复数版本与旋转技巧：核心 复版本由实部恢复；例题为在R^5或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与复数版本与旋转技巧有关的范数、配对或谱量；反例任务为去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号3-4要求写出实际数值或序列；条件为使用复数版本与旋转技巧时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件；本节结论将作为《范数保持延拓》的对象、估计或反例来源。
• 范数保持延拓：核心 ||F||=||f||；例题为在R^2或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与范数保持延拓有关的范数、配对或谱量；反例任务为去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号3-5要求写出实际数值或序列；条件为使用范数保持延拓时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件；本节结论将作为《分离点与闭子空间》的对象、估计或反例来源。
• 分离点与闭子空间：核心 闭子空间外点可被泛函分离；例题为在R^3或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与分离点与闭子空间有关的范数、配对或谱量；反例任务为去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号3-6要求写出实际数值或序列；条件为使用分离点与闭子空间时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件；本节结论将作为《有限维延拓实验》的对象、估计或反例来源。
• 有限维延拓实验：核心 有限约束可化为线性方程；例题为在R^4或有限序列空间中选取具体向量、矩阵或泛函，逐项算出与有限维延拓实验有关的范数、配对或谱量；反例任务为去掉本节关键条件后，用有限维退化例、非完备子空间、移动基向量、尖峰函数或无界算子中的一种给出明确失败对象；本课编号3-7要求写出实际数值或序列；条件为使用有限维延拓实验时必须声明空间是否Banach/Hilbert、算子是否线性有界、拓扑是强/弱/弱星，以及结论中的闭性、紧性、自反性或定义域条件；本节结论将作为《稠密开集与Baire纲》的对象、估计或反例来源。

章内证明训练

闭卷写每节对象与量词，再重建关键构造和估计。每次引用定理列出空间、拓扑、完备/闭/紧条件；随后删去一个条件，写出明确序列、函数、子空间或算子展示失败。章末Python实验必须运行四组测试，并说明有限模型不能证明哪一条无限维结论。

错题闭环

把错误编码为定义、量词、拓扑、完备性、紧性、定义域、估计方向或反例不完整。一周后更换空间和数据重做阶段卷；能从对象和条件推回结论，才算真正掌握。