《泛函分析》总笔记

全课证明主线

十二章依次为：赋范空间与完备化、有界线性算子与对偶、Hahn–Banach定理、Baire纲与三大基本定理、弱拓扑、弱星拓扑与对偶性、Hilbert空间的几何、紧算子与Fredholm思想、有界算子的谱理论、Banach代数与C*观点、Lp空间与对偶表示、分布、Sobolev与无界算子入口、算子半群、变分法与综合证明。复习时不用标题串，而用四条线：完备性让极限留在空间；对偶把向量问题变成标量测试和分离；紧性恢复有限维式子列性质；谱和函数演算描述算子的长期结构。

每个定理的五栏

第一栏写空间和标量域，第二栏写拓扑，第三栏写算子或集合条件，第四栏写结论的量词，第五栏写删掉条件后的反例。Hahn–Banach、三大定理、Alaoglu、投影、紧算子和谱结论都必须按五栏复述。

强、弱与弱星

范数收敛能推出弱收敛，反向一般失败；弱星拓扑由原空间元素测试对偶元素，比弱拓扑使用的测试族更小。所有闭包、紧性和连续性结论必须注明拓扑，不写拓扑的“收敛”在本课程中视为不完整。

实验与证明

有限维Python实验用于复算范数、投影、谱量和迭代误差，只是无限维结构的模型。证明必须独立完成对象、量词、构造、估计、极限与条件反查。错题按定义混淆、量词交换、完备性遗漏、拓扑混淆、紧性误用、定义域遗漏和反例不具体七类复盘。