泛函分析公式与定理条件速查

范数、算子与对偶

• 商范数：$\Vert x+M\Vert ={\inf }_{m\in M}\Vert x+m\Vert$；得到Banach商空间需原空间Banach且M闭。
• 算子范数：$\Vert T\Vert ={\sup }_{\Vert x\Vert \le 1}\Vert Tx\Vert$；线性算子有界、在0连续、处处连续等价。
• Hahn–Banach：先核对实/复版本、子空间、次线性支配或范数支配；延拓保持原限制和范数。
• 典范嵌入：$Jx(f)=f(x)$；自反要求J满射，不只是等距。

三大定理

• 一致有界：X必须Banach；对每个x有${\sup }_{\alpha }\Vert T_{\alpha }x\Vert <\infty$，推出算子范数统一有界。
• 开映射：Banach空间之间的有界线性满射是开映射。
• 有界逆：Banach空间间有界线性双射的逆有界。
• 闭图：定义域和值域均Banach，处处定义线性算子图闭，推出有界。

Hilbert、紧性与谱

• 投影定理：Hilbert空间中非空闭凸集有唯一最近点；闭子空间给正交分解。
• Riesz表示：Hilbert空间每个连续线性泛函唯一表示为内积；留意内积线性槽约定。
• 紧算子把有界序列送到具有收敛子列的序列；有限秩算子紧，但一般Banach空间上紧算子未必都是有限秩算子的范数极限。
• Neumann：$\Vert A\Vert <1$时$(I-A{)}^{-1}={\sum }_{n\ge 0}{A}^n$。
• 谱半径：$r(T)={\lim }_n\Vert T^n{\Vert }^{1/n}={\inf }_n\Vert T^n{\Vert }^{1/n}$。

函数空间与变分

• Hölder：$1/p+1/q=1$；Minkowski给Lp三角不等式；$1<p<\infty$时Lp自反。
• Lax–Milgram：Hilbert空间上双线性型连续且强制，右端连续，得到唯一弱解与稳定估计。
• 无界算子必须写定义域；对称不自动等于自伴，闭、可闭与本质自伴不可混用。
• 强连续半群生成元由强极限定义，定义域通常不是全空间。