加权拟合、χ²与残差

今天究竟要解决什么

先把仪器放在一边。我们今天必须完成的任务是：画标准化残差，计算约化χ²并检查残差随时间、自变量和测量批次是否有结构。一个可接受的答案不能只是“现象符合理论”，而要让另一位同学拿到相同对象、步骤和原始数据后，能独立重算并有机会推翻我们的判断。本章主线是：不把拟合软件的一个参数表当结论，而是从数据生成过程、权重、残差和替代模型判断证据强度。

从上一节走到这里

上一节《线性最小二乘与参数协方差》留下了可继续使用的数据、模型或校准；本节不另起炉灶，而是拿它解决《加权拟合、χ²与残差》。 主题骨架给出的连接是：承接参数估计；下一节进入非线性拟合并处理初值和局部极小。先写上一节交付物，再圈出本节新增的未知量；若说不清输入从哪里来，就说明知识链已经断了。（联系锚：phys-12-experimental/u8/l03/bridge。）

核心关系必须连同条件书写

$${\chi }^2=\sum _i[(y_i-f_i)/{\sigma }_i{]}^2$$

读式子时逐项标出物理量、单位、符号方向、采样时刻、标定版本和适用近似。公式不是装饰：它要把操作定义映射到读数，再把读数映射到可检验结论。凡是涉及拟合，还要声明自变量误差、权重、残差结构和参数可辨识性；凡是涉及控制，还要声明状态、超时、限值和失败后的安全状态。（公式锚：phys-12-experimental/u8/l03/equation。）

跟着老师完成一遍

第一步，把主张改写为自变量、因变量、控制量和可推翻判据。第二步，画对象—传感器—调理—采样—文件—分析的测量链。第三步，给量程、分辨率、采样率和等待时间做数量级估算。第四步，安排零点、标准样、重复、随机化或正反向测量。第五步，只追加原始记录，同时保存单位、时间戳、仪器标识、校准和异常事件。第六步，按预先写好的规则计算估计值、不确定度和残差。第七步，用对照、极限、守恒或替代测量反查。

现在把七步落到本节任务“画标准化残差，计算约化χ²并检查残差随时间、自变量和测量批次是否有结构”上。实验方案至少写出一张原始数据表的列定义、一条计算链和一个停止规则；若只有最终均值或软件截图，别人无法知道删点、换单位和修正发生在何处。（实作锚：phys-12-experimental/u8/l03/worked-protocol。）

本章同时把桌面大学物理实验课件中的典型项目放回证据链：用单摆、光电效应和标定曲线比较残差与替代模型。它们是工作例和反查材料，不是需要背诵的器材目录。旧式报告若只写相对误差、再用“人为原因”收尾，在这里不算完成；必须同时交代测量模型、标定、不确定度预算、结构化残差和近似失效边界。

例子：先预测，再测量，再反查

动手前先估计信号数量级和不确定度目标，判断效应能否被当前分辨率看到。采集后先画原始数据随时间或控制量的图，再拟合；不能先删掉“不顺眼”的点。报告时保留主估计、标准不确定度、单位、模型条件和残差图。最后更换一个关键条件，观察结论是否按核心关系预期变化。这样得到的不是一串读数，而是一条从对象到主张的证据链。

本课专属工作例

现在只做《加权拟合、χ²与残差》：先把任务“画标准化残差，计算约化χ²并检查残差随时间、自变量和测量批次是否有结构”中的输入量逐一代入关系 ${\chi }^2={\sum }_i[(y_i-f_i)/{\sigma }_i{]}^2$，保留单位和至少两行中间式；随后按“承接参数估计；下一节进入非线性拟合并处理初值和局部极小”说明这个结果从何而来、交给谁使用。最后故意触发“χ²接近1依赖不确定度模型正确；高R²不能证明模型、独立性或误差分布正确”，记录最先偏离的原始量，并比较错误模型与正确模型对下一次读数的不同预测。这份工作例必须产出本课自己的数据表、计算和反例，不能拿别课的模板答案替代。

失败边界要真的会导致错误

本节首要反例是：χ²接近1依赖不确定度模型正确；高R²不能证明模型、独立性或误差分布正确。请指出错误第一次出现在哪一层：操作定义、加载效应、动态响应、采样与量化、时间同步、数据清洗、统计模型，还是结论外推。再设计一个最小对照，只改变一个边界，使正确解释与错误解释给出不同预测。笼统写“人为误差”或“仪器不准”不得分。（反例锚：phys-12-experimental/u8/l03/failure。）

数据和程序怎样成为证据

本课程代码题都是真正可运行的 Python 标准输入输出程序，不是伪代码。程序必须检查输入边界，并由至少四组测试覆盖正常、零值、极限或故障情况。程序跑通只证明实现满足这些样例；物理上还要核对单位、标定、守恒、独立性和模型适用范围。反过来，手算正确也不能保证时间戳错位、通道丢样和数组端点没有实现错误。

随课四题怎样验收

单选题检查证据路线，多选题检查必要记录，计算题要求公式、单位和结果，实验论证题按十分量表验收：问题与操作定义2分、测量链与步骤2分、计算和不确定度2分、对照与反例2分、记录与结论边界2分。只复述概念、只给图或只报最终数字都不能证明会做实验。

交给下一节

本节交付物会成为下一节《非线性拟合与初值敏感性》的输入。 离开本节前闭卷回答：测什么、怎样定义、仪器怎样改变对象、原始记录包含什么、不确定度来自哪里、哪个结果会推翻主张、别人怎样复做。七问能连成一条线，才算真正学会。（交接锚：phys-12-experimental/u8/l03/handoff。）