热库展开与 Boltzmann 因子

先做一个能枚举的小系统

今天的问题是：对热库熵 S_R(E-E_i) 作一阶展开。先用两粒子、四自旋或少数能级把全部微观态列出来，写每个态的能量、粒子数、简并和观测量；再计算概率。这样能防止直接套大系统公式却不知道计数对象，也能在程序实现前得到一个逐项可核对的真值表。

新对象为什么在这里出现

上一节《稳定性与热容》产出的态空间、测度、约束或生成函数，现在成为《热库展开与 Boltzmann 因子》的输入。 本章主线是“把小系统与大热库组合，从总态数推出 Boltzmann 权重。”。先写旧描述能算什么，再指出缺口：动力学轨道不直接给宏观概率，热力学势不直接给微观态权重，经典计数不处理交换对称，平均值不描述涨落。新系综或分布只补这个缺口，不把统计物理 II 的临界与非平衡结论提前塞成口号。

核心公式与符号条件

$$P_i\propto e^{-\beta E_i}$$

逐项说明求和/积分遍历哪些态，概率测度怎样归一，E/N/V/T/μ 哪些固定，简并度和 $1/N!$ 是否已计入，态密度是否包含自旋，β=1/(kBT) 的单位如何抵消能量。若从求和换积分，要写连续极限和有限尺寸条件。（公式锚：phys-10-statistical/u4/l01/热库展开与 Boltzmann 因子/equation。）

从微观态推到可测量

针对《热库展开与 Boltzmann 因子》，先写状态集合和约束，再构造多重度、密度或配分函数；随后用 $\ln Z$、$\ln \Xi$ 或熵的导数得到能量、压强、粒子数、热容或磁化率。任务“对热库熵 S_R(E-E_i) 作一阶展开”必须保留至少四行关键中间式，并用直接枚举与导数法互相反查。（推导锚：phys-10-statistical/u4/l01/热库展开与 Boltzmann 因子/derivation。）

完整例题还要做三个极限

第一，低温极限应只留下基态及其简并；第二，高温/低密度极限应回到经典统计或均匀占据；第三，系统尺度增大时相对涨落如何缩小。完成“对热库熵 S_R(E-E_i) 作一阶展开”后检查概率和为1、态数无量纲、热容/方差非负以及自由能导数与热力学关系一致。（例题锚：phys-10-statistical/u4/l01/热库展开与 Boltzmann 因子/worked-example。）

《热库展开与 Boltzmann 因子》不能跳过“先算小系统”这一步。请把两种独立算法并排写：左边逐态列举并直接求和，右边从生成函数取导数；两边必须得到同一数值。若不一致，依次检查态标签是否重复、简并是否漏乘、归一化是否用错系综，以及数值指数是否已经溢出。把核对记录标为 phys-10-statistical/u4/l01/热库展开与 Boltzmann 因子/double-check，这个逐层排错顺序会贯穿后续所有统计计算。

最容易错的计数与边界

本节危险说法是：热库必须足够大且耦合能可忽略。请构造一个最小反例并指出首个坏步骤：漏简并、重复计算全同粒子排列、把连续态密度当概率、把最概然等同平均、在临界点继续用 Gaussian 涨落，或把详细平衡当快速收敛。只写“注意适用范围”不得分。（边界锚：phys-10-statistical/u4/l01/热库展开与 Boltzmann 因子/failure。）

公式怎样连接实验或模拟

《热库展开与 Boltzmann 因子》的输入旋钮可以是温度、体积、化学势、外场、能级间隔或系统尺寸；输出是能量、热容、占据、涨落、相关或采样直方图。先固定其余变量预测斜率和标度，再用独立恒等式交叉校准。若“热库必须足够大且耦合能可忽略”发生，残差、归一、有效样本数或有限尺寸漂移应怎样暴露？（观测锚：phys-10-statistical/u4/l01/热库展开与 Boltzmann 因子/observable。）

可运行题必须有统计诊断

程序从标准输入读取参数并输出可复算结果，至少四测覆盖小系统精确值、低/高温极限、边界和非法输入。Monte Carlo 还必须报告热化、自相关、有效样本数和不确定度；一次看似平滑的曲线不证明采样独立，更不能替代小系统解析基准。

随课练习的严格分工

单选检查系综和近似，多选检查“对热库熵 S_R(E-E_i) 作一阶展开”的证据链，计算题要求态计数、公式和单位，推导题按10分验收：状态空间/约束2分，权重与推导3分，可测预测2分，极限/反例2分，归一与符号1分。只写最终分布名或软件图不得分。

把本节交给下一节

下一节《配分函数》会直接使用这个结果。 闭卷回答：微观态是什么？测度是什么？哪些宏观量固定？公式怎样归一？哪个极限或反例最先揭露错误？能换一个能谱或系统尺寸重做，才算真正掌握。（闭环锚：phys-10-statistical/u4/l01/热库展开与 Boltzmann 因子/handoff。）