材料模型的能量与被动性

先看一个必须解决的问题

今天不从定义表开始。课堂任务是：在线性无色散介质中推能量密度，再讨论有损色散材料为何要改写。如果只记结论，你很容易在源项、介质、边界、参考系或符号约定改变时失手。我们先写清求解区域、已知源、未知场、边界/初值和最终可测量量，再决定该用积分方程、微分方程、势、模式还是守恒律。

和上一节怎样接起来

上一节《两介质界面的完整匹配》留下了可计算的对象；本节把它用于《材料模型的能量与被动性》，所以不是另起一个名词。 本章主线是“从束缚电荷电流走到 D、H 与本构关系，明确宏观平均的尺度。”。先把旧对象能回答什么写出来，再指出它不能回答哪一步；只有缺口明确，新公式才不是凭空出现。电动力学的学习顺序始终是：实验事实给局域方程，数学结构给可解形式，边界和本构选出物理解，守恒与极限负责验收。

核心公式单独写

$$u=\frac{1}{2}(\mathbf{E}\cdot \mathbf{D}+\mathbf{B}\cdot \mathbf{H})$$

读公式时逐项标注：场点与源点是否混用，矢量方向和积分方向如何规定，单位制是不是 SI，时间约定采用实场还是 $e^{-i\omega t}$ 相量，材料是否线性/均匀/各向同性，区域是否含源或奇点。公式只有连同这些条件才算一个可使用的知识单元。（本节公式锚：phys-06-electrodynamics/u6/l07/材料模型的能量与被动性/equation。）

在《材料模型的能量与被动性》的具体语境里，这个式子不是孤立结论：它要服务于“在线性无色散介质中推能量密度，再讨论有损色散材料为何要改写”。请先用一句话说明等号左边描述哪种局域变化，右边代表哪类源或响应；再指出积分形式怎样通过一个可缩小的盒子或回路还原到微分形式。最后把条件“该简单能量式不是任意频散、非线性材料的普遍公式”改成错误假设，观察方程、边界或守恒中的哪一项首先产生矛盾。（本节语义锚：phys-06-electrodynamics/u6/l07/材料模型的能量与被动性/meaning。）

跟着老师从方程走到结果

第一步，画区域并标出源、界面和法向；第二步，写完整 Maxwell 方程或由它推出的势方程，不能只抄最终专用式；第三步，利用对称性选择坐标与基底；第四步，把边界、远场衰减、原点正则性和规范条件逐条落实；第五步，求未知系数或场分量；第六步，再由 Lorentz 力、Poynting 通量、应力或相位得到实验能读出的量。对于课堂任务“在线性无色散介质中推能量密度，再讨论有损色散材料为何要改写”，每一步都必须能指出使用了哪条假设。

一个例题应当怎样写完整

先不代数字，写量纲和标度：若源强加倍，响应是否线性加倍；若距离远大于源尺度，哪一阶多极留下；若频率趋零，时变解是否回到静态；若导电率趋零或无穷，界面条件是否回到介质或理想导体。然后完成“在线性无色散介质中推能量密度，再讨论有损色散材料为何要改写”，至少保留四行中间式。最后做三重反查：代回控制方程、代回边界条件、检查能量或功率守恒。（本节例题锚：phys-06-electrodynamics/u6/l07/材料模型的能量与被动性/worked-example。）

最容易错的边界

本节首要反例是：该简单能量式不是任意频散、非线性材料的普遍公式。把错误解第一次偏离的地方圈出来：是把局域方程当成直接求场公式，是漏掉奇点 δ 项，是误用对称性，是法向方向反了，是把振幅平方当功率，还是在非均匀/色散介质里套了均匀静态公式。只说“注意适用范围”不够，必须给一个会算出矛盾的具体输入。（本节失败锚：phys-06-electrodynamics/u6/l07/材料模型的能量与被动性/failure-boundary。）

数值与实验怎样成为证据

《材料模型的能量与被动性》对应的可运行题不是伪代码，它把“在线性无色散介质中推能量密度，再讨论有损色散材料为何要改写”压缩成可测试输入输出。程序从标准输入读取参数并输出可复算结果，至少四组测试覆盖常规、极限、对称和非法输入。数值残差小只说明离散方程近似满足；还要比较解析基准、网格加密、守恒账和边界反射。反过来，手算推导正确也不能保证数组索引、端点、时间步和复数相位实现正确。

随课四题如何训练

围绕《材料模型的能量与被动性》，单选题检查模型和边界，多选题检查“在线性无色散介质中推能量密度，再讨论有损色散材料为何要改写”的证据链是否完整，计算题要求写公式、单位和极限，推导题按 10 分量表验收：对象与假设 2 分、方程和关键推导 3 分、可测预测 2 分、反例与适用范围 2 分、单位/符号 1 分。只给最后公式、只贴软件图或只复述概念都不能证明会做。

把结果交给下一节

本章到这里收束；请把本节产出的方程或边界条件带进下一章。 现在闭卷回答：本节未知量是什么？公式从哪条 Maxwell 方程来？边界条件用了哪个积分小回路或薄柱盒？例题的可测输出是什么？把哪个条件撤掉会立即失败？五问都能重建，才算真正学会。（本节闭环锚：phys-06-electrodynamics/u6/l07/材料模型的能量与被动性/handoff。）