实验：近似与精确对角化对照

今天要解决什么

先不背结论。我们从课堂任务开始：覆盖小耦合、近简并、强耦合和基组扩张四测。请先写清系统、可控输入、实际观测量和单位，再预测结果应朝哪个方向变化。量子力学难学，常常不是计算太长，而是把实验事实、概率振幅、算符和一次测量混成了同一种东西。本节只引入解决这个任务所必需的新对象，并把它和上一节已经会的概念接起来。
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从旧图景走到新对象

经典图景能解释哪一段、在哪个可观测量上失败，要用等式或数量级说清。核心关系是：同一有限矩阵同时算微扰、变分和精确本征值。这里的波函数或态矢描述制备条件，算符描述测量问题，概率由投影或模平方得到，时间演化由 Hamiltonian 决定。四者角色不同；不能把波函数画成真实轨迹，也不能把期望值当成每次实验必得的数。
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公式单独读一遍

把核心式单独写在草稿中央，然后逐项标注：每个符号的物理意义与量纲；积分或求和的定义域；态是否归一；Hamiltonian 是否显含时间；使用的是离散谱、连续谱还是二者混合。公式成立还要求：初边值条件相容、算符定义域明确、近似尺度足够小。只有公式和条件成对出现，速查表才不会误导。
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跟着老师推导

现在完成“覆盖小耦合、近简并、强耦合和基组扩张四测”。第1步从实验或 Hamiltonian 写输入；第2步选表象和基底；第3步施加归一、边界、对称或交换条件；第4步保留至少 3 行关键中间式；第5步求概率、能级、矩阵元或演化；第6步回到可观测单位。若中间出现“显然为零”，必须指出来自正交、宇称、对易关系还是边界项，而不是跳过去。
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一个完整计算怎样验收

先手算方向和数量级，再计算具体数值。结果至少做四次反查：概率是否在0到1之间；归一或总概率是否为1；能量、长度、频率是否同量纲；经典极限、零耦合或大势垒极限是否回到已知结论。若是数值本征问题，还要核对 Hamiltonian 厄米性、残差、正交性、节点数和网格收敛，不能只看最低本征值的小数位。
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这一步最容易错在哪里

本节的危险边界是：数值精确只针对离散模型，不等于原连续问题精确。请把错误说法压缩成一句，再构造最短反例，指出推导第一次失效的位置。若是近似失效，要给无量纲尺度；若是边界条件变化，要重新匹配；若是简并，要先在简并子空间对角化；若是连续谱，要改变归一口径；若是测量问题，要区分制备、演化和读取三个阶段。
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练习不是背概念

随课四题分别承担不同任务：单选检查模型边界，多选检查证据链是否齐全，计算题要求写公式和单位，推导题要求从假设走到结论并给反例。严格题公开按10分评分：对象和假设2分，公式推导3分，计算或可观测预测2分，极限与反例2分，单位和适用范围1分。只写最终公式或软件截图不得分。
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可运行实验证明什么

对应章节的Python实验从标准输入读取，至少四组测试覆盖正常、边界、退化与非法输入。程序可以验证代数、单位、谱、归一和收敛，却不能替代对称性证明或连续问题的存在性论证。反过来，纸面推导正确也不能保证离散矩阵、端点、步长和浮点容差正确；两类证据必须互相反查。
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把本节接回全课

这是第11章第7节。向前追问它依赖哪项实验、哪种态和哪条数学关系；向后追问它将怎样进入一维模型、谐振子、测量、对称性、角动量、氢原子、自旋、全同粒子或近似计算。请画一条“制备→态→Hamiltonian→演化→测量→概率”的箭头，并标出实验：近似与精确对角化对照处于哪一步。
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下课闭卷自检

不用资料回答：本节新对象为什么必须引入？核心式每一项是什么？课堂计算哪一步使用了边界或对称性？最短反例是什么？数值实验的四测分别防什么错？如果更换参数、基底或测量方向，能重新完成推导而不是只换数字，才算掌握本节。